Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
53
нормальную моду, смещение атома, который перемещается за счет поворота в верхнее положение (левый нижний атом), должно быть направлено от центра. Это также означает, что смещение атома, занимающего позицию, в которую попадет при повороте верхний атом (правый нижний атом), также направлено от центра. Мы получили моду, в которой все атомы смещены на одинаковые расстояния по направлениям от центра треугольника. Такое нормальное колебание естественно назвать пульсацией. Если бы стрелка х2 была направлена внутрь треугольника, а не наружу, мы, разумеется, получили бы ту же самую моду колебания, на сдвинутую по фазе на 180°. Проведенные рассуждения иллюстрируются на диаграммах следующим образом:
Рассматривая остальные преобразования симметрии, нетрудно проверить, что полученная мода инвариантна относительно всех преобразований группы. Отметим также, что при другом, менее удобном выборе систем координат для начальных смещений рассмотрение несколько усложнится, но приведет к тому же самому результату.
Проведя аналогичные рассуждения для неприводимого представления Л2, получаем нормальное колебание, для которого xt = = х3 = х5, х2 = Xi=xB = 0; это вращательное колебание. Для свободной молекулы частота этого колебания, очевидно, равна нулю. Однако, не нарушая симметрии задачи, можно прикрепить молекулу пружинками к какой-нибудь жесткой плоскости, и тогда частота вращательной моды колебания будет отличной от нуля.
Для представления Л3 рассуждения уже не столь просты, так как в этом случае приходится рассматривать одновременно две моды. Мы также увидим, что решение оказывается неоднозначным и зависит от нашего выбора представления. Как и раньше, начнем с обсуждения операции симметрии ст1( т. е. отражения относительно
Правильно
Не годится
54
Г л. /. Типы и симметрия твердых тел
вертикально расположенной высоты треугольника. В представлении Л8 преобразованию о4 соответствует матрица
т. е. первая мода меняет знак, а вторая не меняется. Отсюда следует, что в первой моде верхний атом смещен в горизонтальном направлении, а во второй — в вертикальном. В зависимости от выбора знаков соответствующих стрелок мы получим различные системы мод. Направим сначала смещения соответственно вправо и вверх.
Применим теперь операцию симметрии Си которая преобразует смещения следующим образом:
Этому преобразованию соответствует матрица неприводимого пред* ставления
Из вида этой матрицы следует, что после вращения первая мода переходит в сумму первой моды, умноженной на Dlt = — 1/2, и второй моды, умноженной на D2i =—Y3/2 (напомним, что Qi = 2 DjiQj). Беря такую комбинацию первой и второй мод,
получаем
&*-А
§ 5. Приложения теории групп
55
На повернутой первой моде теперь имеем две стрелки:
Выполнив обратное вращение, получим две стрелки на первой моде в первоначальном положении:
Аналогично можно получить дополнительную стрелку на диаграмме второй моды. Для этого складываем стрелку второй моды, умноженную на —1/2, со стрелкой первой моды, умноженной на |/3/2. Нарисуем эту стрелку на повернутой второй моде и повернем ее в исходное положение. Тогда получим
Проведем затем точно такие же рассуждения для вращения Сг, добавив в результате еще по одной стрелке на диаграмме обеих мод. Окончательно получим
Мы получили линейные колебания, при которых молекула перемещается как единое целое, без изменения расстояний между атомами. Для свободной молекулы частоты таких колебаний равны нулю, но если бы атомы молекулы были прикреплены пружинками к жесткой плоскости, то частоты были бы отличны от нуля.
Мы пока нашли лишь одну из систем нормальных колебаний, принадлежащих представлению Л8. Чтобы получить другую, повто-
56
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
рим все предыдущие рассуждения, переменив в первой моде направление смещения верхнего атома на противоположное и оставив вторую моду неизменной. В результате получим теперь следующие две моды:
Не используя теорию групп, выделить эти две моды представляется довольно затруднительным. Заметим также, что полученный результат не зависит от величины взаимодействия между атомами.
Выбирая другую линейную комбинацию мод, можно получить более симметричное представление для колебания этого типа. В частности, если увеличить фазу моды 2 на 90° и сложить с модой 1, то получим некоторую новую моду. Другую можно получить, складывая с модой 1 моду 2 с уменьшенной на 90° фазой. Построенные таким образом две новые моды соответствуют вращению всех атомов, причем фаза движения каждого атома отличается от фазы соседнего атома на 120°. Для одной моды атом, расположенный справа, опережает по фазе атом, расположенный слева, а для другой — отстает.
Необходимо подчеркнуть, что конкретный вид только что обсуждавшихся нормальных колебаний зависит от нашего выбора неприводимого представления. Если бы мы воспользовались каким-либо эквивалентным неприводимым представлением, то получили бы смесь колебательной и вращательной мод. В случае свободной молекулы мы нашли трансляционную моду и сумели отделить ее от колебательных мод. Для этого на самом деле необходимо было воспользоваться трансляционной инвариантностью, которая не входит в число преобразований симметрии треугольной молекулы, положенных в основу нашего рассмотрения. Можно было бы, например, прикрепить нашу систему пружинками к жесткой плоскости таким образом, что для точного решения задачи о ее колебаниях потребовалось бы смешать трансляционные и колебательные моды. Для отделения этих мод друг от друга необходима какая-то дополнительная информация помимо информации о треугольной симметрии системы. Точно так же в атоме водорода любая линейная комбинация 2р- и Зр-состояний преобразуется по представлению полной
