Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
ит = u0ei(ham-at>.
Таким образом, мы нашли решение задачи в виде бегущей волны. Сложив полученное выражение с комплексно сопряженным ему,
Фиг. 19. Колебательные моды одномерной цепочкн. а — график смещений для моды с длиной волны, равной длине цепочки, н набросок диаграммы смещений атомов; 6 — зависимость частоты от волнового числа.
можно получить вещественные смещения, но можно непосредственно использовать и комплексное выражение.
Физическая природа найденных мод совершенно ясна и схематически проиллюстрирована на фиг. 19, а. Нормальным модам колебаний соответствует распространение вдоль линейной цепочки волн сжатия. Следует ожидать, что при больших длинах волн скорость распространения нормальных колебаний постоянна и равна скорости распространения продольных звуковых колебаний по цепочке. Мы полагаем, следовательно, что в этом случае частота пропорциональна волновому числу k. Однако число нормальных мод ограничено тем, что волновое число должно лежать в зоне Бриллюэна, и поэтому существует лишь конечное число нормаль-
ft 5. Приложения теории групп
65
ных мод, соответствующих конечному числу степеней свободы системы. В дальнейшем будет показано, что кривая зависимости частоты от волнового числа при уменьшении длины волны идет ниже прямой, определяющей низкочастотную зависимость, и постепенно становится пологой, так что д<а/дк при k = ± п/а обращается в нуль (фиг. 19, б). Если учесть смещения атомов в двух других направлениях, то в дополнение к полученной выше продольной моде мы найдем две поперечные моды. Трехмерные моды колебаний мы подробнее обсудим позже, но до того, как это будет сделано, нам придется один раз воспользоваться представлением мод нормальных колебаний в виде бегущих волн. Поэтому, предваряя анализ, выполненный в гл. IV, мы просуммируем и обобщим найденные здесь результаты. Детали можно восстановить, пользуясь аналогией со структурой электронных энергетических полос, подробно обсуждаемых в следующей главе.
В трехмерном кристалле нормальные колебания могут распространяться в любом направлении и поэтому волновое число к заменяется волновым вектором к. Значения волнового вектора и в этом случае лежат в зоне Бриллюэна, которая имеет вид многогранника в трехмерном пространстве волновых чисел. Каждому значению волнового числа теперь соответствуют три моды, одна из которых отвечает смещениям, примерно параллельным вектору к, а для двух других смещения приблизительно перпендикулярны волновому вектору к. (Неполная продольность или поперечность нормальных колебаний связана с анизотропией упругих свойств кристалла.) Эти моды описываются тремя частотными полосами в зоне Бриллюэна. При малых значениях к частоты мод пропорциональны k\ такие моды называют акустическими модами.
Если примитивная ячейка содержит два (или больше) атома, то в кристалле существуют и другие моды, называемые оптическими. Можно представлять себе, что эти моды соответствуют колебаниям атомов внутри ячейки друг относительно друга, причем изменение фазы колебаний от ячейки к ячейке описывается блоховским фазовым множителем. При любых значениях волновых чисел частоты оптических колебаний отличны от нуля, и их полосы целиком расположены над акустическими полосами. Каждой степени свободы примитивной ячейки ставится в соответствие одна оптическая полоса. Мы ограничимся здесь этим грубым описанием колебаний трехмерного кристалла, учитывая, что в дальнейшем мы вернемся к детальному анализу колебаний решетки.
В следующей главе будет сформулирована задача о трансляционной симметрии произвольной кристаллической решетки. Пользуясь соображениями симметрии, мы получим некоторые дополнительные сведения об энергетических зонах и затем перейдем к выяснению их детальной структуры в кристаллах. Вид состояний электронов удается найти с помощью соображений симметрии, но для
3-0257
66
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
определения зависимости энергии отдельного электронного состояния от волнового числа и соответственно для получения явных выражений частот колебаний как функций волнового числа необходимы конкретные расчеты.
1. Рассмотрим объемноцентрированную кубическую решетку, состоящую из одинаковых атомов. Каковы примитивные трансляции этой решетки?
Добавим теперь по одному такому же атому в центр каждой грани кубической ячейки. Каковы примитивные трансляции полученной решетки? Какова теперь примитивная ячейка и сколько в ней атомов?
2. Рассмотрим кристалл, обладающий осью симметрии, которую обозначим буквой с. Группа симметрии этого кристалла содержит вращения и отражения группы симметрии равностороннего треугольника, расположенного в плоскости, перпендикулярной оси с. Пусть она, кроме того, содержит отражение кристалла в этой плоскости (и произведения этого отражения на остальные элементы). Найдите общий вид тензора электропроводности, учитывая все требования симметрии.
3. Рассмотрим гамильтониан Н (гь pt; г2, р2), описывающий динамику двух взаимодействующих частиц. Если частицы тождественны, то гамильтониан не изменяется при перестановке двух частиц:
