Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Но если мы связываем волновой пакет с некоторым электронным состоянием, то мы можем написать
Выражения (2.6) и (2.7) согласуются с уравнением движения для волнового вектора:
Эго уравнение, конечно, есть просто уравнение закона Ньютона, в котором импульс заменен на квазиимпульс. И оно оказывается справедливым в общем случае, независимо от того, имеет смысл описание электрона с помощью волнового пакета или нет. В частности, это уравнение остается справедливым и когда в F дает вклад сила магнитного происхождения. Так, в случае силы Лоренца
здесь е — абсолютная величина электронного заряда (е > 0), a v, как и раньше,— скорость электрона.
Можно проиллюстрировать полученные результаты в терминах зонной структуры, как мы это делали в предыдущем параграфе. Рассмотрим электрон в двумерной квадратной решетке. Его поведение схематически изображено на фиг. 23. Пусть сначала электрон находится в состоянии к = 0. Если мы теперь приложим электрическое поле, волновой вектор начнет меняться вдоль линии, параллельной электрическому полю, с постоянной (в обратном простран-
dE _ dk dE (k) dt dt * dk
(2.7)
(2-8)
С
§ 2. Динамика электронов
79
стве) скоростью. В то время как волновой вектор движется через холмы и долины энергетической зоны, скорость электрона в реальном пространстве может меняться очень сложным образом. Когда волновой вектор достигает грани зоны Бриллюэна, то же самое состояние электрона может быть описано с помощью волнового
Фиг. 23. Движение электрона в двумерной квадратной решетке при наличии однородного постоянного во времени электрического поля $.
а — прямолинейное движение в обратном пространстве из точки Г. Производная dkldt постоянна всюду, кроме точек пересечения с границами зоны Бриллюэна. Скорости v = (1/А) Vk^ в реальном пространстве показаны в виде стрелок, отходящих от траектории; предполагается, что энергетическая зона такая же, как и первая зона на фиг. 22, а; б — форма соответствующей электронной траектории в реальном пространстве. Масштаб зависит от величины электрического поля.
6
вектора на противоположной грани зоны, отличающегося от данного волнового вектора на вектор обратной решетки. Если мы хотим продолжать следить за волновым вектором электрона в первой зоне Бриллюэна, нам придется совершить этот скачок с одной грани на другую. Затем волновой вектор продолжает меняться внутри зоны, снова двигаясь по прямой линии, параллельной приложенному электрическому полю. Если электрическое поле приложено вдоль направления симметрии, то на следующем «заходе» электрон вернется в состояние к = 0. Следовательно, электрон будет совершать циклическое движение, которое можно рассматривать как ускорение электрона, его дифракцию на решетке и, наконец, возвращение в исходное состояние. Конечно, в реальном кристалле электрон обычно оказывается рассеянным каким-нибудь несовершен-
-ев
80
Г л. II. Электронные состояния
ством решетки или границами задолго до того, как он закончит такой цикл.
Рассмотрим теперь движение электрона в однородном магнитном поле:
ft*L=_i-vx Н. (2.9)
Из уравнений (2.5) и (2.9) мы видим, что вектор к перемещается перпендикулярно градиенту энергии в пространстве волновых векторов, поэтому энергия электрона со временем не меняется. Следовательно, движение в магнитном поле ограничено только поверхностью постоянной энергии в пространстве волновых векторов. Для простоты мы рассмотрим такую энергию и такую зонную структуру, чтобы эта поверхность была замкнутой. Получаемую картину мы легко могли бы распространить и на поверхности, пересекающие грани зоны. Из уравнения (2.9) мы видим, что к движется перпендикулярно магнитному полю, т. е. конец волнового вектора должен двигаться по линии пересечения некоторой плоскости, перпендикулярной Н, с соответствующей поверхностью постоянной энергии. Такая орбита изображена на фиг. 24, а. Волновой вектор электрона перемещается вдоль показанной на чертеже линии пересечения.
Интересно также задать вопрос: каким образом движется электрон в реальном пространстве? В уравнении (2.9) мы можем записать скорость как производную по времени от координаты г: dr/dt. Интегрируя тогда обе стороны уравнения по времени, мы найдем, как меняется компонента координат, перпендикулярная магнитному полю. Нетрудно видеть, что проекция реальной орбиты электрона на плоскость, перпендикулярную Н, имеет с точностью до множителя подобия hc/eH ту же самую форму, что и орбита в пространстве волновых векторов. Кроме того, благодаря векторному произведению она повернута на 90°. Таким образом, знание поверхностей постоянной энергии, т. е. энергетической зонной структуры, позволяет нам точно установить форму траекторий, описываемых электроном в реальном кристалле в присутствии магнитного поля.
Кроме описанного движения могло бы быть еще и движение электрона вдоль магнитного поля, которое не учитывается уравнением (2.9). Однако, зная траекторию в пространстве волновых векторов по поверхности постоянной энергии и зонную структуру, мы можем рассчитать скорость в любой момент времени и восстановить полную трехмерную орбиту электрона. Если изоэнергетические поверхности сферические, то траектория электрона в кристалле будет представлять собой спираль с осью, параллельной магнитному полю. Для энергетической поверхности более сложной формы траектория будет гораздо сложнее (фиг. 24, б), но ее проекция на плоскость, перпендикулярную магнитному полю, будет иметь тот
