Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
76
Гл. II. Электронные состояния
пространстве, разрешенные периодическими граничными условиями, находятся очень близко друг от друга, эти функции становятся почти непрерывными. Совокупность функций ?„(к) называется энергетической зонной структурой данного кристалла. Позже мы увидим, каким образом эти функции используются при расчете различных свойств твердого тела.
Мы уже видели примеры таких зон для одного измерения. Прежде чем переходить к трехмерному случаю, полезно, быть может, получить соответствующие результаты для двух измерений.
Рассмотрим двумерную квадратную решетку с периодом а. Можно показать, что векторы обратной решетки имеют величину 2л/а и лежат в направлениях примитивных трансляций решетки. Зона Бриллюэна представляет собой квадрат, и энергия в энергетической зоне есть функция двух компонент к. Таким образом, мы можем представить энергию в виде поверхности, откладывая ее в третьем измерении как функцию двумерной переменной к. Эго показано на фиг. 22 для двух возможных ситуаций. На фиг. 22, а изображены две зоны, которые отделены друг от друга при всех значениях волнового вектора. Здесь же вверху изображены зависимости энергии двух зон от волнового вектора, рассчитанные вдоль трех линий в зоне Бриллюэна: линии, выходящей из угла зоны (обозначаемого через №) в центр (Г), из центра (Г) в середину стороны квадрата (X) и из X в W. Результаты расчетов энергетических зон обычно традиционно изображаются в виде подобных кривых для линий симметрии в зоне Бриллюэна.
Обратим внимание, что энергия второй зоны в точке X лежит ниже, чем энергия первой зоны в точке W. В подобных случаях говорят о перекрытии зон. Такое перекрытие оказывается важным в металлах. В результате мы не должны заполнять электронами только нижнюю зону, оставляя верхнюю пустой. Мы увидим, что обязательно возникающие при этом частично заполненные зоны существенны для свойств металла.
На фиг. 22, б показаны две зоны, вырожденные в точке W, но не перекрывающиеся во всех остальных точках зоны Бриллюэна. Такой «контакт» часто возникает и в реальных кристаллах.
Знание группы трансляций кристалла позволяет нам установить структуру энергетических зон, однако, чтобы найти зависимости Еп(к), мы должны, конечно, прибегнуть к детальным расчетам.
§ 2. ДИНАМИКА, ЭЛЕКТРОНОВ
Теперь мы получим некоторые общие результаты, относящиеся к движению электронов в кристаллах. Эго позволит нам придать большее содержание идее об энергетической зонной структуре и будет полезно при описании конкретных материалов.
§ 2. Динамика электронов
77
Общие результаты, которые мы здесь получим, покажутся интуитивно очевидными, когда мы будем описывать простые металлы в рамках приближения почти свободных электронов, но они остаются справедливыми и в более общих ситуациях.
Мы характеризуем каждое из электронных состояний волновым вектором к и зонным индексом п. Энергия в любой зоне представляет собой квазинепрерывную функцию Еп (к). Волновую функцию электрона в данном состоянии можно записать в блоховском виде:
Для описания движения электрона удобно сконструировать волновой пакет. Мы можем локализовать состояние в одном измерении, построив пакет около состояния с волновым вектором к0 в определенной зоне. Так как мы имеем дело только с одной зоной, мы будем опускать зонный индекс п. Суммируя по совокупности волновых векторов к, параллельных к0, построим волновой пакет вида
Ф = 2 uheih"re~aih“ko)* =eih°'T гв-а(ь-ло)»#
Если величина а достаточно велика, то все ыл, кроме ы*0, не дают существенного вклада в сумму, и мы имеем простой гауссов пакет около г = 0, модулированный функцией uj,0 exp {ik0-r). Легко получить и зависимость волновой функции от времени, умножив каждый член на соответствующий фазовый множитель exp {—iE (k) t/h}. Для векторов к, лежащих вблизи к0, мы можем заменить Е (к) на Е (к0) + (dE/dk) *(к — к0). Величина dE/dk представляет собой, конечно, градиент энергии в пространстве волновых векторов. Теперь можно записать волновую функцию в виде
Как легко видеть, мы получили пакет той же формы, что и раньше, но смещенный в направлении к0 (или к — к0) на соответствующую компоненту вектора
Пакет движется со скоростью
1 dE % dk ’
где производная по к берется в направлении, параллельном к0. Конструируя волновой пакет, локализованный в трех измерениях, мы видим, что в общем случае его скорость
1 dE (к)
78
Гл. II. Электронные состояния
Этот результат просто двойник классического результата, который гласит, что скорость есть производная гамильтониана по импульсу. В выражении (2.5) роль импульса играет величина Йк; ее называют квазиимпульсом (если к — приведенный волновой вектор). Пока электрон локализован в области, размеры которой велики по сравнению с межатомным расстоянием (и поэтому флуктуации ик около к0 малы), естественно, связывать скорость с данным электронным состоянием в кристалле. Для свободного электронного газа эта скорость есть просто TiVJm. Для более сложных зонных структур скорость принимает более сложный вид (2.5).
Теперь можно задать вопрос: каким будет поведение электрона, если кроме периодического потенциала самой решетки на него действует еще некоторое внешнее поле? Пусть F — внешняя сила; тогда изменение во времени энергии построенного нами волнового пакета будет
