Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
б **
Z вИ-г
Ф н г. 20. Схематическое изображение электронных волновых функций
в кристалле.
а — потенциал вдоль цепочки атомов; б — пример собственной функции. Сама функция комплексна; здесь показана только ее действительная часть. Эту функцию можно представить в виде произведения функции Блоха (а), имеющей периодичность решетки, и плоской волны (г); здесь показана действительная часть последней.
в соответствии с (2.2) то же самое неприводимое представление. Для обозначения данного представления мы выбрали наименьший из этой совокупности волновых векторов. Можно сказать, что все точки, содержащиеся в области, которую мы называем зоной Брил-люэна, лежат к точке к = 0 ближе, чем к любому другому узлу обратной решетки. Эта область ограничивается плоскостями, делящими пополам векторы обратной решетки.
Отметим, что для простой кубической решетки обратная решетка также простая кубическая, а зона Бриллюэна представляет собой
§ 1. Структура зон
73
куб. Для гранецентрированной кубической решетки обратную решетку можно построить, если воспользоваться соотношениями (2.4). Легко видеть, что в этом случае обратная решетка оказывается объемноцентрированной кубической. Соответствующая зона Брил-люэна показана на фиг. 21, а. Аналогичным образом находим, что объемноцентрированная кубическая решетка имеет обратную решетку гранецентрированную кубическую. Зона Бриллюэна для этого случая изображена на фиг. 21,6. У гексагональной плотно упакованной (и простой гексагональной) решетки обратная решетка
Фиг. 21. Зоны Бриллюэиа для гранецентрированной (а) и объемноцентрн-рованной (б) кубических решеток.
Каждая на зоя вписана в куб со стороной 4л/а, где а — ребро кубической ячейки реальной решетки. В случае граиедеитрироваиной кубической решетки объем зоны Бриллюэиа равен половине объема куба, для объемноцентрированной решетки — одной четверти объема куба.
гексагональная, а зона Бриллюэна имеет вид правильной гексагональной призмы.
Таким образом, каждое состояние характеризуется некоторым волновым вектором в зоне Бриллюэна. Заметим, что для большого кристалла эти волновые векторы, так же как и в одномерном случае, расположены очень близко друг к другу. Запишем еще раз выражение (2.3):
. Xjki x2k2 . x3k3 Nt 1" A, f *
Числа Nt очень большие, порядка корня кубического из полного числа атомов в кристалле, и каждому набору значений xt отвечают различные состояния. На самом деле, легко можно показать, что внутри зоны Бриллюэна имеется столько значений к (разрешенных периодическими граничными условиями), сколько существует примитивных ячеек в кристалле. Лучше всего это видно из следующего. Объем зоны Бриллюэна равен объему примитивной ячейки обратной решетки; это вытекает из того факта, что если построить зоны Брил-
74
Гл. //. Электронные состояния
а
Фиг. 22. Возможные энергетические зоны
Вверху показаны две первые зоны вдоль лиинй симметрии (используются общеприня-же зон в зоне Бриллюэна; по вертикали отложена энергия. В случае «а» зоны перекричав «б» зоны пырож-
люэна около каждого узла обратной решетки, то они как раз заполнят все пространство и на каждую примитивную ячейку обратной решетки будет приходиться по одной зоне. Конечно, подобным же образом и примитивные ячейки обратной решетки заполняют пространство и на каждый узел также приходится по одной ячейке. Наконец, мы уже видели, что внутри примитивной ячейки обратной решетки имеется Nt N2 Nа различных волновых векторов, а поэтому столько же разрешенных волновых векторов находится и внутри зоны Бриллюэна. Это равенство числа состояний в зоне Бриллюэна числу примитивных ячеек в кристалле окажется очень важным, когда мы будем рассматривать заполнение состояний в энергетических зонах реальных кристаллов.
Отметим еще раз, что хотя существует только конечное число волновых векторов, которые характеризуют состояния, но само число электронных состояний бесконечно. Эго следует из того, что
§ I. Структура зон
75
в двумерной квадратной решетке.
тые обозначения). Внизу изображена объемная картина энергетических поверхностей тех паются: вторая зон в точке X имеет меньшую энергию, чем первая в точке W. В слу-дены в точке 1У.
каждому волновому вектору должно отвечать бесчисленное множество состояний. Тогда, чтобы однозначно определить данное состояние, мы не только фиксируем отвечающий ему волновой вектор, но и нумеруем все состояния, отвечающие каждому из волновых векторов в порядке возрастания энергии. Так же как и в одномерном случае, мы будем считать, что состояние с наименьшей энергией, отвечающее данному волновому вектору, находится в первой зоне. Следующее по энергии состояние с тем же волновым вектором находится во второй зоне и т. д. Таким образом мы однозначно определяем каждое энергетическое состояние, указывая его волновой вектор и зонный индекс. Теперь энергия каждого состояния хорошо определена. Мы будем обозначать энергии состояний в п-й зоне с помощью функции Еп (к). Оказывается, что в каждой зоне ?„ (к) есть квазинепрерывная функция волнового вектора (как и для одномерного случая). В большом кристалле, когда точки в обратном
