Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Приложения теории групп
57
группы вращений с I = 1. Чтобы отделить эти состояния друг от друга, необходимо знать зависимость потенциала от расстояния.
Тем не менее удивительно, что мы сумели получить так много информации о нормальных колебаниях, ни разу не воспользовавшись уравнениями движения. Разумеется, для явного вычисления частот необходимо использовать уравнения движения, а для однозначного определения нормальных мод нужна некоторая дополнительная информация.
Так как смещения в нормальных координатах получаются из. декартовых смещений путем некоторого унитарного преобразования, то в силу ортогональности декартовых смещений нормальные моды взаимно ортогональны, т. е. ортогональны друг другу векторы-столбцы, соответствующие рассмотренным выше диаграммам. Скалярные произведения двух таких векторов можно получить, если сложить скалярные произведения векторов смещений для отдельных атомов соответствующих мод. Полученные нами результаты проверяются непосредственно. Отметим, в частности, что центр масс смещается лишь в найденных выше трансляционных модах.
Приложения теории групп к классификации состояний электронов и к молекулярным колебаниям представляют собой, пожалуй, простейшие нетривиальные примеры использования соображений: симметрии. Теперь мы перейдем к приложениям, более тесно связанным с физикой твердого тела.
3. Группа трансляций — одно измерение
В § 2 этой главы мы обсуждали группу трансляций трехмерных кристаллов. Эта группа будет использована в § 1 гл. II при изучении структуры электронных состояний в трехмерных кристаллах.
Фиг. 16. Одномерная цепочка тождественных атомов, в которой каждый атом находится на расстоянии а от своего ближайшего соседа.
Полезно, однако, предварительно изучить электронные состояния в одномерном кристалле. Принципиальные черты одномерной и трехмерной проблем не отличаются, а вычисления в одномерном случае намного проще, так что мы только выиграем, изучив сначала эту простую модель.
Представим себе одномерную цепочку тождественных атомов, находящихся на расстоянии а друг от друга (фиг. 16). Для этой одномерной решетки трансляции (1.1), совмещающие решетку с собой, приобретают вид
Т = па,
58
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
где п — положительное или отрицательное целое число. Прежде чем применять теорию групп, мы должны решить, как поступить с границами нашего кристалла. Проще всего сделать так. Возьмем цепочку из N атомов и свернем ее в кольцо. Тогда трансляции превратятся в перемещения атомов по этому кольцу. Так, выписанная выше трансляция переводит каждый атом в положение, которое ранее занимал какой-то другой атом.
Такой способ рассмотрения эквивалентен наложению периодического граничного условия на линейную цепочку, состоящую из N атомов. Используя представление о периодическом граничном условии, можно сказать, что трансляция, выводящая атом за пределы кристалла через один конец, переносит его обратно внутрь кристалла через другой конец. В трехмерном случае проще пользоваться периодическими граничными условиями, а не представлять себе, что трехмерный кристалл сворачивается в кольцо в четырехмерном пространстве.
В рассматриваемой нами цепочке имеется всего N конфигураций атомов, которые можно получить из исходной с помощью приведенных выше трансляций, поэтому припишем каждой конфигурации номер я, где я пробегает целые значения от 0 до N — 1. Можно не принимать во внимание трансляции, соответствующие другим значениям я, так как они, очевидно, эквивалентны уже учтенным. Например, трансляция с л = N переводит атомы кристалла в исходное положение, и поэтому можно считать, что эта трансляция совпадает с тождественной, соответствующей значению я = 0.
Нетрудно убедиться, что определенные выше N трансляций образуют группу. Произведение трансляций определяется просто последовательным выполнением соответствующих преобразований. Так как каждая трансляция переводит кристалл в положение, не отличимое от исходного, то это верно и для произведения трансляций, т. е. произведение также входит в группу. Единичный элемент есть просто трансляция с л = 0. Очевидно, что умножение ассоциативно и что обратные трансляции содержатся в группе.
Заметим далее, что все элементы этой группы коммутируют между собой, поэтому группа является абелевой и все ее неприводимые представления одномерны. Более того, поскольку каждый элемент группы можно представить как некоторую степень элемента с я = 1, то группа является циклической, и мы немедленно получаем все ее неприводимые представления:
D<*> (Гп) = e~2nixu/N.
Здесь символ х есть целое число, нумерующее представление. В рассматриваемой группе существует N различных трансляций и, следовательно, N значений х определяют различные представления, которые исчерпывают все неприводимые представления.
§ 5. Приложения теории групп
59
Обычно принимают, что индекс х пробегает значения от —N12 до N12. Если N — нечетное число, то берутся все положительные и отрицательные целые числа в этом интервале (и нуль). Если N — четное число, то учитывается один из двух концов интервала. Таким образом, в обоих случаях мы можем написать —N/2 ^ х < N12.
