Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичное расщепление происходит, если поместить атом в кристаллическую решетку. В этом случае первоначальная полная сферическая симметрия (любые вращения и отражения) уменьшает-
46
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
ся до симметрии, определяемой расположением атомов, окружающих в решетке данный атом. Например, пятикратно вырожденные d-состояния свободного атома расщепляются при помещении его в кубическую решетку на двукратно и трехкратно вырожденные. Чтобы показать это, необходимо сначала расширить класс рассматриваемых нами групп, включив в него бесконечную непрерывную группу вращений трехмерного пространства. Учет отражений для наших целей не существен, так что мы ограничимся рассмотрением группы чистых вращений. Теорию представлений непрерывной группы вращений можно построить аналогично теории представлений дискретных групп, которая была кратко изложена выше. Здесь мы ограничимся тем, что приведем один или два простых результата этой теории.
Бесконечная непрерывная группа вращений содержит бесконечное число классов. Вращения на одинаковые углы всегда входят в один и тот же класс независимо от направления оси вращения. Перенумеруем неприводимые представления индексом /. При заданном значении I характер, соответствующий классу вращений на угол ф, равен
Х(,’(ф) = 2 е™*. (1.8)
Характер единичного элемента, очевидно, совпадает с размерностью представления, и, как видно из формулы (1.8), он равен 21 + 1. Базис /-го неприводимого представления образуют сферические гармоники YT (0, ф). При заданном I индекс т может принимать 21 + 1 значений, причем соответствующие 21 + 1 функций YT преобразуются при вращениях друг через друга, d-состояния свободного атома, очевидно, принадлежат неприводимому представлению с I = 2. Характеры этого представления можно найти по формуле (1.8).
Чтобы описать расщепление уровней в поле кубического кристалла, необходимо также найти характеры неприводимых представлений группы симметрии куба. Так как эта группа очень часто встречается в физике твердого тела, мы выпишем таблицу ее характеров в явном виде.
Как было указано раньше, группа преобразований симметрии, переводящих куб в себя, содержит 48 элементов. Выделим подгруппу собственных вращений (включая тождественное преобразование), содержащую 24 элемента. Помимо этих преобразований группа куба содержит элементы, каждый из которых можно представить как произведение собственного вращения на инверсию, но нам эти преобразования не понадобятся. Группа всех преобразований симметрии куба обозначается символом Ол, подгруппу собственных вращений обычно обозначают просто как О. Таблица характеров
§ 5. Приложения теории групп
47
группы О имеет вид
| Е 8 Ся 3Сг 6 С2 6С4
Г, 1 1 1 1 1
Г2 1 1 1 -1 -1
Та 2 -1 2 0 0
п, 3 0 -1 -1 1
Г» 3 0 -1 1 -1
Здесь все преобразования, кроме единичного, являются вращениями, на что и указывает символ С. Индекс при букве С указывает на величину угла вращения; так, преобразование С3 есть вращение на 120° (вращение вокруг оси третьего порядка). Восемь таких преобразований соответствуют вращениям куба вокруг его диагоналей, направленных по [111] и т. д. Преобразования ЗС2 — это три вращения второго порядка (на угол 180°) вокруг осей [100] и т. д. Преобразования 6С2 — это вращения второго порядка вокруг шести осей [110] и т. д. Преобразования 6С4 — вращения четвертого порядка по часовой стрелке и против часовой стрелки вокруг трех осей [100] и т. д. Символом Г обычно обозначают представления групп О и Oh, причем индекс 1 обозначает единичное представление, а остальные индексы и штрихи соответствуют обозначениям Боукар-та, Смолуховского и Вигнера [4]. Мы находим, что группа О имеет два одномерных, два трехмерных и одно двумерное представления.
Теперь, пользуясь формулой (1.8), нетрудно построить характеры d-состояний (I = 2) для вращений, входящих в группу симметрии куба. Для Е, 8С3, ЗСг, 6С2 и 6С4 найдем соответственно значения характеров, равные 5, —1, +1, +1 и —1. Пользуясь полученными выше правилами, можно показать, что пятимерное представление разлагается на представления Г12 и Г'5, т. е. d-состояние расщепляется полем кубического кристалла на двукратно вырожденные и трехкратно вырожденные состояния. Представления Г12 и Г,, часто называют d-подобными представлениями группы куба. Трехкратное вырождение p-состояний кубическая симметрия не снимает, и эти состояния преобразуются по Г|3. Поэтому представление Г[. часто называют p-подобным; по аналогичным причинам Г! называют s-подобным представлением.
2. Колебательные состояния
Займемся теперь приложением математических методов теории групп к задаче совершенно иного типа. Это — классическая задача о колебаниях гармонической системы, которую мы будем решать физически наглядным способом.
48
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
Рассмотрим совокупность атомов, связь между которыми имеет гармонический характер. Смещение системы из положения равновесия в любой момент времени можно описать, задав компоненты смещений атомов хх, х2, . . ., ху. Обычно набор этих компонент содержит по три компоненты смещений для каждого атома системы. Другой способ определения смещений системы из положения равновесия состоит в том, что задают значения обобщенных координат Qh которые связаны с координатами xt унитарным преобразованием
