Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Qt= 2 U i jXj }
Если известны значения Qf в данный момент времени, то величины смещений в этот момент можно найти с помощью обратного преобразования. Вспоминая, что матрица, обратная матрице U, есть просто U*, получаем
*=2 HiQj.
}
Особенно удобны обобщенные координаты, называемые нормальными координатами и соответствующие нормальным модам колебаний системы (или собственным колебаниям). Нормальные координаты изменяются со временем по синусоидальному закону с частотами, равными частотам соответствующих нормальных мод (или собственным частотам системы). Если возбуждена только одна нормальная мода, то все смещения хх изменяются по синусоидальному закону с одинаковыми частотами. Они определяются выражением
xt (t) = U*3iQj (0) (cos u)jt— tg qv sin оijt). (1.9)
Здесь Qj (0) есть значение Q} при t = 0, u>j — угловая частота данной моды, а ф; — ее фаза в момент t = 0. Мы можем характеризовать
Ф и г. 14. Схема для одной из мод колебаний квадратной молекулы.
Векторами показаны смещения атомов в нулевоА момент времени в случае, когда возбуждена только эта мода.
/-ю моду заданием матричных элементов U*i при любых значениях i — от 1 до N.
Полезно делать это графически: нарисовать схематическое изображение рассматриваемой системы и указать на этой схеме направления векторов с компонентами дг,- = ?/*<. Такая схема для
§ 5. Приложения теории групп
49
некоторой конкретной моды колебаний четырехатомной молекулы изображена на фиг. 14. Схему такого типа можно было бы назвать диаграммой смещений. Если все атомы сдвинуть на векторы смещения, указанные на диаграмме, и затем в момент / = О отпустить (не придавая им начальной скорости), то движение системы будет определяться выражением (1.9), в котором отлично от нуля только одно значение Qj (0), а фаза <pj равна нулю. Движение системы будет таким в том случае, если мы возбудим в ней единственное нормальное колебание. Диаграмма изображает вид соответствующей моды особенно наглядно.
Теперь покажем, как применять соображения симметрии для изучения нормальных колебаний. Пусть R — преобразование симметрии, переводящее молекулу в себя. Представим, что молекула выведена из состояния равновесия, как указано на фиг. 14, и выпол ним преобразование R. Возьмем, например, в качестве R поворот на 90° по часовой стрелке. Тогда диаграмма на фиг. 14 перейдет в диаграмму
Можно считать, что диаграмма описывает некоторую новую деформацию системы. Очевидно, что частота колебания, возбужденного этой деформацией, будет такой же, как и частота колебаний в случае деформации, представленной на фиг. 14. Если новая мода колебаний эквивалентна первоначальной, как это имеет место в данном случае (с точностью до изменения знака), то мы не узнаем ничего нового. Однако если новая мода отличается от исходной, то мы получим в результате некоторое новое нормальное колебание, частота которого равна частоте первого. Как и в квантовой механике, возникает вырождение, с необходимостью вытекающее из наличия симметрии. Таким образом, если все нормальные координаты не изменяются или переходят в эквивалентные координаты при операциях симметрии, то следует ожидать, что спектр колебаний невырожден. Если же некоторые нормальные координаты переходят при операциях симметрии друг в друга, то мы заключаем, что соответствующие нормальные колебания будут вырожденными.
Это утверждение можно сформулировать несколько иначе. Допустим, что мы нашли унитарное преобразование от координат смещений к нормальным координатам (что эквивалентно полному решению задачи). Нормальные координаты невырожденных мод при операциях симметрии не должны изменяться, или, иными словами, они должны принадлежать одномерным неприводимым представлениям. С другой стороны, координаты вырожденных мод могут пре-
4-0257
so
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
образовываться друг через друга. Выбирая подходящие линейные комбинации вырожденных мод (любые ортогональные линейные комбинации вырожденных нормальных мод также суть нормальные моды), можно прийти к новым нормальным координатам, преобразующимся по неприводимым представлениям.
Это позволяет нам выяснить характер вырождения нормальных колебаний системы, не решая задачи о нахождении этих колебаний. Это возможно потому, что, как показано выше, нормальные координаты преобразуются по неприводимым представлениям, а эти
Фиг. 15. Система координат, в которой задаются смещения атомов треугольной молекулы.
представления можно сразу получить, используя теорию групп. При этом может остаться некоторая неопределенность лишь в том случае, если две совокупности нормальных колебаний (вырожденные или нет) преобразуются по одному и тому же неприводимому представлению. Одни лишь соображения симметрии не позволяют отделить такие моды. Проще всего это увидеть на примере.
Метод приведения координат к нормальной форме совершенно очевиден. Мы проиллюстрируем его на примере плоской молекулы треугольной формы. Разместим систему координат для каждого атома так, как это указано на фиг. 15. Смещение, скажем, верхнего атома определяется заданием его компонент в направлениях осей Xi и х2. Численные значения этих компонент обозначим буквами Xi и х2- Смещения всех атомов молекулы описываются шестимерным вектором-столбцом. Такие векторы-столбцы образуют базис для шестимерного представления группы симметрии молекулы. Мы построим это представление, введя в рассмотрение некоторый специальный набор смещений для каждого атома молекулы. Например, для Сг — поворота на 120° — возьмем деформированную молекулу и повернем ее на 120°. По отношению к старой системе координат, которая остается неизменной, мы получаем таким образом некоторый новый набор смещений. Так, смешение верхнего атома молекулы в направлении х2 будет теперь выглядеть как смещение нижнего левого атома в направлении х4. Обозначим смещения после такого поворота на 120° штрихованными буквами, а до поворота —
