Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
В приложениях теории групп часто оказывается известным какое-то приводимое представление группы (например, полученное путем применения операций симметрии к некоторой пробной функции) и нужно разложить это представление на неприводимые. Оказывается, что для решения этой задачи достаточно знать характеры неприводимых представлений. Пусть некоторое представление распадается на неприводимые представления Z)(i) (R), причем каждое из них встречается в разложении at раз. Записывая соответствующие матрицы в приведенной форме, т. е. в виде
01V /ДО 0 0 0 0
/ДО 0 0 0 0
0 0 2) 0 0 0
0 0 0 ?><*> 0 0
0 0 0 0 П(Э) и и D\f
. 0 0 0 0 Г)(3) и-п
нетрудно показать, что характер рассматриваемого приводимого представления равен
х(Я) = 2а«х<ь(Я).
I
Умножим обе части этого равенства на %li)*(R) и просуммируем по R. Применяя теорему ортогональности для характеров [см. (1.7)], получаем
«.-IS xU)*(/?) Х {R) = Т S SpXU)* (р) х (Р),
R Р
что и решает задачу о разложении представления на неприводимые представления. Это разложение часто записывают в виде
D(R)SajDU)(R).
j,
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
Чтобы пояснить абстрактные понятия теории групп, мы приведем в этом параграфе некоторые приложения. Идеи и методы теории групп используются в дальнейшем во многих местах этой книги.
44
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
1. Понижение симметрии
Если в результате деформации системы или введения в нее некоторого потенциала ее симметрия понижается, то число операций симметрии, переводящих систему в себя, уменьшается. Получающаяся при этом меньшая совокупность операций симметрии называется подгруппой исходной группы. Матрицы любого неприводимого представления группы определяют также некоторое представление подгруппы (для этого, конечно, достаточно оставить лишь матрицы, соответствующие элементам подгруппы), но это представление подгруппы может оказаться приводимым. В этом случае деформация системы уменьшает степень вырождения, связанного с симметрией. Разлагая представление на неприводимые, мы можем выяснить природу соответствующего расщепления уровней.
В качестве примера рассмотрим треугольную молекулу, помещенную в магнитное поле, перпендикулярное ее плоскости. Рассмотрим сначала операции симметрии измененной задачи. Отражения меняют направление магнитного поля на противоположное, поэтому если гамильтониан зависит от магнитного поля, то он может быть неинвариантным при отражениях. С другой стороны, вращения вокруг оси, направленной вдоль магнитного поля, не изменяют гамильтониан. Поэтому в данном случае подгруппа состоит из преобразований Е, Ct и Сг. Пользуясь полученными выше правилами, основанными на соотношении ортогональности, заключаем, что подгруппа имеет три одномерных неприводимых представления и является абелевой группой. Заметим далее, что все элементы этой группы можно представить как степени одного из ее элементов: С3, С и С2. Группа, обладающая таким свойством, называется циклической группой. Любая циклическая группа, очевидно, является абелевой. Таблица характеров рассматриваемой группы, совпадающая в данном случае с таблицей неприводимых представлений, имеет вид
Е С, с2
L, 1 1 I
и ] g2ni/3 gini/3
и 1 ?-2я»/3 g— 4.ii/3
Неприводимые представления циклической группы всегда имеют такой периодический вид. Нетрудно проверить, что выписанные представления имеют соответствующую таблицу умножения, следовательно, они являются правильными неприводимыми представлениями этой группы.
Рассмотрим представление изучаемой подгруппы, индуцированное двумерным неприводимым представлением всей группы тре-
§ 5. Приложения теории грипп
45
угольника, характеры которого равны
| ? С, С2
Аз I 2 -1 -1
Посмотрим, каким образом внешнее магнитное поле расщепляет два вырожденных состояния треугольной молекулы, принадлежащих этому неприводимому представлению. Волновые функции этих состояний преобразуются друг через друга под действием трех операций подгруппы согласно представлению с таблицей характеров 2, —1, —1. Если, выбирая подходящие линейные комбинации, можно получить состояния, не переходящие друг в друга под действием операций подгруппы, то у нас нет никаких оснований ожидать, что эти состояния являются вырожденными. Указанные линейные комбинации, разумеется, соответствуют некоторому унитарному преобразованию нашего приводимого представления.
Применяя сформулированное выше правило разложения представления на неприводимые, при помощи таблицы характеров находим коэффициенты неприводимых представлений
«1 = 0,
2_е2л1/3_е4л1/3
а3=---------§---------=1-
Таким образом, мы убедились, что вырождение исчезло (у подгруппы нет двумерных представлений) и что состояния, которые были вырожденными, теперь симметричны относительно преобразований L,о И ?3.
Посмотрим еще, как все это описывается на языке волновых функций. Представление А3 описывает преобразование собственных состояний в отсутствие магнитного поля. При построении эквивалентного ему представления мы все еще не учитывали влияния магнитного поля на состояния. Когда мы включаем сколь угодно малое поле, то группа симметрии уменьшается, и при преобразованиях подгруппы каждое из двух состояний переходит в себя. Симметрия теперь не требует, чтобы существовало вырождение. Конечно, возможно, что существует случайное вырождение. В этом случае приводимое представление может описывать вырожденные состояния. В общем случае, однако, нет никаких оснований предполагать, что состояния модифицированного гамильтониана будут случайно вырожденными.
