Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
30
Гл. /. Типы и симметрия твердых тел
2. Произведение любых двух элементов группы также должно принадлежать группе. Для операций симметрии это означает, что произведение двух преобразований симметрии также должно быть преобразованием симметрии, что, очевидно, верно.
3. Группа должна содержать единичный элемент. В случае операций симметрии тождественное преобразование (не изменяющее систему), очевидно, принадлежит группе. Единичный элемент обычно обозначается символом ? и его можно определить как элемент, для которого выполняется условие
?•? = /?•? = /?.
4. Умножение ассоциативно, т. е.
Ri’(R2’Rз) = (Ri’Rd’Rat
где (R2-Rs) есть элемент, являющийся произведением элементов-R2 и Rз, a (Rt 'R2) — элемент, равный произведению элементов-Rt и R2. Для операций симметрии это верно, хотя, быть может, и не вполне очевидно.
5. Вместе с любым элементом группа должна содержать и обратный ему. Совокупность операций симметрии, очевидно, обладает этим свойством. Действительно, если под действием некоторого-преобразования гамильтониан не изменяется, то преобразование, уничтожающее это действие, также не изменяет гамильтониан. Элемент, обратный R, обозначается символом R'1 и, очевидно, обладает свойством
R.]T1 = R-1-R = E.
Поясним понятие группы на примере операций симметрии для равностороннего треугольника. Нетрудно проверить, что существует 6 операций симметрии, переводящих треугольник в себя. Это легко увидеть, сделав треугольник из кусочка бумаги. Поворачивая бумажный треугольник на 120°, мы, очевидно, переводим его в эквивалентное положение. (Если бы мы имели дело с молекулой в форме треугольника, то при таком повороте ее гамильтониан не изменился бы.) Чтобы сохранить след произведенного преобразования, можно поставить на бумаге какую-нибудь метку, например точку ?, как указано на фиг. 12. Поворот переводит метку Е в положение, отмеченное буквой С,. (Повороты обычно обозначаются буквой С.) Другие операции симметрии переведут нашу метку в другие положения, отмеченные на фиг. 12. Заметим, что положения, отмеченные буквой о, получаются лишь при переворачивании или отражении треугольника. (Отражения обычно обозначаются буквой о.) На диаграмме фиг. 12 каждая операция симметрии представлена одной из эквивалентных позиций, в которую попадает наша метка при действии соответствующего преобразования.
§ 4. Соображения симметрии и теория групп
31
Проведенное рассуждение без труда обобщается на трехмерный случай. Так, поставив опять метку на одной из граней куба вблизи его вершины, можно найти группу симметрии куба. Эта метка может занимать 6 эквивалентных позиций вблизи данной вершины,
Ф и г. 12. Операции симметрии группы равностороннего треугольника.
Каждая операция симметрии группы равностороннего треугольника представлена черным кружком, который первоначально занимает положение Е. Например, поворот на 120s по часовой стрелке обозначается буквой С,; он преобразует треугольник в себя н переводит кружок нз точки Е в точку С,.
причем 3 из них получаются лишь при использовании инверсии. Так как у куба 8 вершин, то всего получаем 48 операций симметрии, переводящих куб в себя.
Вернемся теперь к группе треугольника и составим для нее таблицу умножения. Проще всего это сделать, посмотрев на фиг. 12. Найдем, например, произведение двух преобразований Cj. Преобразование С, переводит метку из ? в С4; применяя его еще раз, переведем ее из Ct в С2, откуда получаем
Cj*C| С2.
Аналогично находим Ct *01: преобразование переводит метку из ? в о,, а преобразование Ct переводит ее из о( в о3, так что
Ci *01 = 03.
Действуя подобным образом, можно получить полную таблицу умножения:
? 0i 02 Оз Ci с2
01 ? Cl с2 02 Оз
02 с2 Е Ci Оз 0i
«з Ci с2 Е 01 02
с, Оз 0i Ог С2 ?
с2 02 о3 01 Е с,
Здесь произведение Ri -R2 находится в строке правее Ri в столбце под R2.
Заметим, что элементы рассмотренной группы не коммутируют. Например, -а2 не равно o2-0i. В общем случае элементы произвольно взятой группы не коммутируют. Группы, все элементы
32
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
которых коммутируют, составляют специальный класс групп, называемых абелевыми группами.
Два элемента А и В входят в один и тот же класс, если в группе существует такой элемент R, что
R-A-FT'^B.
Заметим, что в абелевой группе каждый элемент принадлежит лишь своему классу, т. е. не существует двух различных элементов, входящих в один и тот же класс. Заметим также, что элемент Е сам по себе всегда образует класс. Группа треугольника распадается на три класса
?
01, Oj, 0з
Ci, с2
Термин класс весьма удачен. Элементы одного и того же класса являются совершенно однотипными преобразованиями; это ясно видно на примере группы треугольника. Определяя класс соотношением
R-A-R-^B,
мы тем самым, грубо говоря, показываем, что преобразование В получается из А «поворотом», индуцированным каким-либо преобразованием симметрии R. Обычно можно разбить группу на классы, непосредственно проверяя принадлежность элементов одинаковым классам; для этого также полезно воспользоваться таблицей умножения.
