Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
В полупроводниках большая часть плотности заряда валентных электронов сосредоточена вблизи линий, соединяющих наиболее
16
Гл. /. Типы и симметрия твердых тел
близко расположенные атомы. На фиг. 6 представлено распределение плотности валентных электронов в кремнии. Эти локальные максимумы плотности образуют так называемые ковалентные связи в кристаллах подобного типа. В полуметаллах, как и в металлах, электроны распределены по кристаллу довольно равномерно. Значение описанных только что различий в распределении электронной
Ф и г. 6. Распределение плотности валентных электронов в плоскости (110)
кристалла кремния.
Диаграмма взята из книги [11-
ПЛОТНОСТИ, равно как и значение структурных отличий, довольно часто переоценивают. Хотя кажется, что распределение зарядов в разных типах твердых тел принципиально отличается, в действительности во всех случаях оно достаточно хорошо аппроксимируется суммарным распределением зарядов электронов свободных атомов.
Зная лишь структуру твердого кристалла, можно уже довольно много сказать и о его свойствах. Поэтому мы начнем изложение некоторых методов описания структуры кристаллов. При этом будут введены часто встречающиеся в физике твердого тела понятия и термины, многие из которых оказываются полезными и при изучении систем с гораздо более сложной структурой.
§ 2. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
Характерное свойство всех описанных выше структур — их инвариантность относительно трансляций (трансляционная инва-
§ 2. Симметрия кристаллов
17
риантность). Это означает, что существует большое число трансляций
Т = П{11-\-П2Т2 + Л3Т3, (1 -1)
после действия которых идеальный кристалл остается неизменным. Разумеется, границы при трансляции смещаются, но нас интересует лишь внутренняя часть кристалла. Числа nt — целые, причем при любом выборе целых чисел nt кристалл инвариантен относительно трансляции (1.1).
Чтобы получить наиболее полное описание трансляционной инвариантности, выберем наименьшие векторы т,- (не лежащие в одной плоскости), для которых кристалл все еще инвариантен при трансляции (1.1). Эти векторы называются примитивными векторами {трансляциями) решетки. Определение примитивных векторов проиллюстрировано на фиг. 7 на примере двумерной решетки. Мы поместили начало примитивных векторов в один из узлов решетки. Совокупность точек, изображенная на фиг. 7
• ••••••
• ••••••
• ••••••
Фиг. 7. Примитивные трансляции Т] и т2 и примитивная ячейка простой
двумерной решетки.
и заданная формулой (1.1), называется решеткой Бравэ. Параллелепипед, построенный на векторах ть т2, т3, называется примитивной ячейкой. Кристалл, очевидно, состоит из тождественных примитивных ячеек.
Заметим, что в кубической гранецентрированной решетке можно в качестве трансляций взять ребра кубической ячейки. Эти трансляции не являются, однако, примитивными векторами решетки, поскольку трансляции, представляющие собой векторы, соединяющие какую-либо вершину куба с центрами пересекающихся в этой вершине граней, имеют меньшую длину. Построив примитивную ячейку на этих векторах, мы получим параллелепипед, объем
2-0257
18
Гл. /. Типы и симметрия твердых тел
которого равен объему, приходящемуся на один ион, иными словами, примитивная ячейка содержит всего один атом (фиг. 8). Объем кубической ячейки в 4 раза больше, и ее нельзя считать примитивной ячейкой. Полная трансляционная симметрия кристалла определяется набором примитивных векторов решетки. Учитывая лишь
Фиг. 8. Единичный куб и примитивная ячейка в гранеиентрированном кубическом кристалле.
трансляции большей ячейки, мы теряем часть информации о симметрии решетки.
На основании трансляционной инвариантности мы можем определить структуру кристалла, зная структуру лишь одной примитивной ячейки.
Заметим, что в каждой точке решетки Бравэ обязательно находится атом, но, кроме того, внутри примитивной ячейки могут быть и другие атомы. В частности, в сурьмянистом индии можно поместить в точки решетки Бравэ ионы индия и при этом в каждой ячейке будут еще находиться ионы сурьмы. В случае структуры алмаза, например, для кристалла кремния в каждой точке решетки Бравэ расположен атом кремния и в каждой ячейке есть еще один атом кремния. При этом не всякий перенос кристалла, определяемый вектором трансляции, соединяющим два атома кремния, оставляет кристалл инвариантным.
Помимо трансляций существуют еще и другие операции симметрии, которые переводят кристалл в себя. Инверсия решетки Бравэ относительно любого узла оставляет ее инвариантной и может преобразовывать кристалл в себя. Всевозможные вращения, отражения или зеркальные повороты также могут переводить кристалл в себя. Совокупность всех операций — вращений, отражений, трансляций, зеркальных поворотов и их комбинаций — называется пространственной группой кристалла. Пространственная группа содержит все операции симметрии, которые переводят кристалл в себя.
Если из пространственной группы выбросить трансляции, то оставшаяся совокупность вращений, отражений и зеркальных пово-
§ 2. Симметрия кристаллов
