Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
§3. ФИЗИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ
Здесь мы приведем краткую сводку результатов, подробное изложение которых можно найти в книге Ная [2].
Многие макроскопические свойства кристаллов можно описать с помощью тензоров. К числу таких свойств относится, например, электропроводность, которая связывает вектор напряженности электрического поля с вектором плотности тока. В случае изотропного вещества (такого, как металл, т. е. состоящего из многих зерен) электропроводность задается скаляром, или, что то же самое, произведением скаляра на единичный тензор. Для более сложных систем величина тока все еще пропорциональна величине приложенного
22
Гл. /? Типы и симметрия твердых тел
поля (для достаточно слабых полей), но его направление может не совпадать с направлением поля, иными словами, коэффициент пропорциональности может зависеть от направления поля. В этом случае выберем некую лабораторную систему координат и зафиксируем по отношению к ней ориентацию кристалла. Тогда в этой системе компоненты тока будут связаны с компонентами электрического поля соотношением
jt = 2 Оц$]. j
Величины Otj — это элементы матрицы, которая представляет собой тензор электропроводности кристалла. Если известна группа преобразований симметрии, оставляющих кристалл инвариантным, то эта группа преобразований также должна оставлять тензор электропроводности инвариантным; таким образом, мы получаем определенную информацию о свойствах тензора электропроводности. Для получения наиболее полной информации можно пользоваться всеми преобразованиями точечной группы.
Рассмотрим, например, кристалл с кубической симметрией. В таком кристалле все вращения и отражения, переводящие куб в себя, отображают также и весь кристалл в себя. Направим кубические оси (ребра кубической ячейки) кристалла параллельно осям лабораторной системы координат. Разумеется, оси вращений и плоскости отражений необходимо определенным образом ориентировать относительно заданной системы координат, точно так же, как это делалось по отношению к кубической ячейке. Для определенности будем рассматривать операцию симметрии как реальный поворот кристалла, приводящий к соответствующему преобразованию >ензора электропроводности. Преобразованный тензор электропроводности, выраженный в той же самой лабораторной системе координат, обозначим через о|у.
Всякий поворот или отражение кристалла можно записать в виде матрицы, которая переводит любой вектор-столбец в новый (штрихованный) вектор-столбец х' = Ux:
Гх'Л Гин Ui2 Ui31 ГхЛ
I Х* I = I ^21 ^22 I I *2 I *
L*J Lt/31 ^32 U3a] UJ
Матрица U соответствует интересующему нас повороту или отражению. Например, поворот на 90° вокруг оси г (переводящий вектор, направленный по оси х, в вектор, направленный по оси у) можно представить матрицей
[0-10'
1 0 0.
0 0 1
§ 3. Физические тензоры
23
Повороту вокруг оси г на 180° соответствует матрица
а последовательному выполнению ряда операций отвечает обычное умножение матриц. Преобразование тензора при «вращении» U записывается в виде
где U_1 — матрица, обратная U. Например, матрица Щ1, очевидно, имеет вид
Поворот на 180° — операция симметрии кубической группы, и поэтому интересно применить ее к тензору электропроводности; в результате получим
Эта операция симметрии, однако, не должна изменять тензор электропроводности, что возможно лишь в том случае, если все компоненты о13, о23> о3, и о32 обращаются в нуль. Аналогично, выполняя поворот на 180° вокруг оси х, можно показать, что равны нулю и компоненты о12, o2i и, таким образом, матрица о диагональ-на. Производя поворот на 90° вокруг оси г, можно показать, что o,i = <т22, а производя поворот на 90° вокруг оси х, найти о22 = о33. Таким образом, тензор электропроводности в случае кубической системы можно представить в виде
где теперь о является скаляром. Электропроводность кубического кристалла оказывается изотропной точно так же, как электропроводность любой изотропной системы. Этот результат, пожалуй, не вполне очевиден. Можно было бы думать, что электропроводность в направлении ребра куба отличается от электропроводности в направлении его диагонали. При доказательстве изотропности
o' = UoU~l,
a' = U2
[а„ о,3 о13-|
021 °22 °23 I Uг1 —
о3, о32 o33J
®11 °12 —^la
0^21 ^22 —^23
— а31 —а32 —033.
24
Г л. I. Типы и симметрия твердых тел
электропроводности кубического кристалла существенным моментом было использование предположения о пропорциональности тока электрическому полю.
В менее симметричных кристаллах электропроводность неизотропна, но аналогичные рассуждения позволяют уменьшить число независимых параметров, необходимых для задания тензора электропроводности.
Пьезоэлектрический эффект в кристаллах описывается некоторым тензором третьего ранга. Этот тензор определяет электрическую поляризацию кристалла, появляющуюся при его деформации. Напомним, что состояние деформации кристалла можно охарактеризовать заданием вектора смещения и (г) во всех его точках г. Производные компонент этого вектора определяют тензор деформации
Вектор поляризации связан с тензором деформации через пьезоэлектрический тензор
