Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Рк = 2] ChlfilJ’
i,J
Рассмотрим кристалл, в котором есть центр симметрии, т. е. такая точка, что при инверсии относительно нее кристалл остается инвариантным. Однако при инверсии все компоненты пьезоэлектрического тензора меняют знак:
= Cktjt
откуда вытекает, что они должны равняться нулю. Таким образом, в кристалле с центром симметрии пьезоэлектрического эффекта не может быть. Заметим, что центр симметрии может находиться между атомами. В этом случае инверсия смещает все атомы и не принадлежит точечной группе. Тем не менее она оставляет кристалл инвариантным и принадлежит пространственной группе симметрии кристалла. В том случае, если в кристалле нет центра симметрии, он может быть пьезоэлектриком, но это не обязательно.
Тензор упругости кристалла есть тензор четвертого ранга. Он связывает тензоры деформации и напряжения. Применяя соображения симметрии к тензору упругости, можно уменьшить число его независимых компонент, равное в общем случае 81. Так, например, в кубических кристаллах лишь три компоненты этого тензора независимы.
§ 4. СООБРАЖЕНИЯ СИММЕТРИИ И ТЕОРИЯ ГРУПП
В этом параграфе мы выясним, каким образом теория групп позволяет реализовать всю силу соображений симметрии и получить нетривиальные результаты, исходя из симметрии структуры. Мы
§ 4. Соображения симметрии и теория групп
25
ограничимся лишь кратким обзором теории групп и ее приложений к исследованию свойств симметрии. Гораздо более полное изложение можно найти в книге Тинкхэма 13]*). В этой книге также содержатся доказательства теорем, которые здесь лишь сформулированы или доказаны на эвристическом уровне строгости.
Сначала покажем, как используются соображения симметрии для получения некоторой информации о собственных состояниях электрона. Изложение этого вопроса будет максимально приближено к более общему изложению, в котором используется теория групп. Рассмотрим структуру, для которой существует некая операция симметрии, обозначаемая символом R. Такой операцией может быть вращение или отражение, преобразующее кристалл в себя. Очевидно, что гамильтониан также не должен изменяться под действием этого преобразования, или, что то же самое, операция R должна коммутировать с гамильтонианом Н. Это утверждение можно записать в виде
RH = HR,
пли
RHR'1 = Н.
Таким образом, вращение или отражение переводит гамильтониан Н в RHR-1.
Очень важно здесь и в дальнейшем при обсуждении теории групп четко различать преобразования симметрии и квантовомеханические операторы. Символ Н может означать или квантовомеха-нпческий оператор, или классический гамильтониан. Преобразования симметрии подобны преобразованиям координат, и их можно прилагать как к гамильтонианам, так и к волновым функциям. Мы сейчас займемся построением алгебры преобразований симметрии, которая не имеет ничего общего с действием гамильтониана на волновую функцию.
Рассмотрим сначала одномерную задачу и возьмем в качестве операции симметрии преобразование инверсии относительно точки -V — 0, в результате которого х переходит в —х. Это преобразование симметрии обычно обозначают символом J. Допустим теперь, что нам известно решение ф| не зависящего от времени уравнения Шре-дингера с этим гамильтонианом, т. е.
Яф! —?,ф,.
Применим к этому уравнению преобразование инверсии. Согласно нашему определению операций симметрии, мы должны «перевернуть» гамильтониан и волновую функцию (это эквивалентно инверсии системы координат) и тогда уравнение Шредингера примет вид
JHJ-1 (Уф,) * Ei (УфО,
') См. также [6, 7].— Прим. ред.
26
Г л. I. Типы и симметрия твердых тел
ИЛИ
Я(Уф,) = ?, (Уф,),
поскольку
jhj-i=*h.
Отсюда видно, что волновая функция Уф, является решением того же самого уравнения Шредингера с тем же самым значением энергии что и волновая функция ф,. Если собственное значение энергии ?, не вырождено, т. е. существует лишь одна волновая функция, отвечающая этой энергии, то функция Уф, должна описывать то же состояние, что и ф,. Это значит, что Уф, может отличаться от ф, лишь постоянным множителем, т. е.
Так как преобразование У2, соответствующее дважды повторенной инверсии, есть просто тождественное преобразование (которое мы обычно обозначаем ?), то
Отсюда следует, что D, = ± 1, т. е. волновая функция ф, должна быть либо четной, либо нечетной относительно точки х = 0.
Если собственное значение энергии ?, двукратно вырождено, обозначим соответствующие вырожденные состояния через ф, и ф2. Тогда, поскольку мы можем снова показать, что функция Уф, удовлетворяет уравнению Шредингера с тем же самым значением энергии ?,, состояние Уф, должно быть некоторой линейной комбинацией состояний ф, и ф2. Аналогично состояние ф2 должно переходить под действием преобразования У в некую линейную комбинацию состояний ф, и ф2. Оба эти утверждения можно записать в виде
где Du — коэффициенты, зависящие от выбора состояний. Если все коэффициенты Ьц отличны от нуля, то инверсия, как говорят, смешивает состояния. От этого можно избавиться, выбрав вместо ф, и ф2 такие их линейные комбинации ф{ и ф?, которые уже не смешиваются. Запишем соотношения, связывающие ф,, ф2 с ф',, ф2, в виде
