Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
38
Гл. /? Типы и симметрия твердых тел
Полученный результат справедлив при любом выборе ортонор-мированной системы функций //. Если система ft выбрана произвольно, то для построения матрицы гамильтониана потребуется большое число функций //, и соответствующее представление группы симметрии будет иметь очень высокую размерность. Если, с другой стороны, взять в качестве функций /г собственные состояния гамильтониана, то действие на них гамильтониана сведется к умножению их на некоторое число (собственное значение энергии), и матрица гамильтониана окажется диагональной. Любое преобразование симметрии должно поэтому переводить либо в себя, либо в вырожденное состояние. Размерность представления, порожденного данной функцией ft, не может превышать степень вырождения состояния. Таким образом, между размерностью представления группы и степенью вырождения состояния, породившего это представление, существует тесная связь. В частности, если под действием неприводимого представления все состояния некоторой совокупности преобразуются друг через друга, то это означает, что и под действием операции симметрии эти состояния будут преобразовываться друг через друга, т. е. мы не можем найти никакой линейной комбинации (никакого унитарного преобразования), представляющей исключение. Из симметрии гамильтониана поэтому следует, что эти состояния должны быть вырожденными. Мы пришли тем самым, правда с помощью интуитивных соображений, к одному из важных результатов теории групп. Если группа симметрии гамильтониана имеет многомерные неприводимые представления, это означает, что собственные состояния гамильтониана должны быть вырожденными.
Этот вывод можно сформулировать более точно с помощью леммы Шура, которая гласит:
Любая матрица, коммутирующая со всеми матрицами некоторого неприводимого представления, должна быть кратной единичной матрице.
Отсюда непосредственно следует, что если все функции некоторой совокупности преобразуются друг через друга под действием гамильтониана, а под действием операций симметрии преобразуются по некоторому неприводимому представлению группы симметрии, то эти функции должны быть вырожденными собственными состояниями гамильтониана.
Принято говорить, что неприводимое представление, по которому преобразуются собственные состояния гамильтониана, описывает симметрию этих состояний. Так, например, если состояние преобразуется по одномерному представлению, то соответствующая волновая функция при инверсии либо не меняется вовсе, либо меняет знак. Аналогично три вырожденных состояния при вращении на 90° переходят друг в друга в точности так же, как три вектора.
§ 4. Соображения симметрии и теория групп
39
Возможно, конечно, что у гамильтониана есть вырожденные собственные состояния, обладающие различной симметрией. Такое вырождение определяется конкретным видом гамильтониана, а не просто его симметрией, и называется случайным вырождением. Следует ожидать, что случайное вырождение снимается любой модификацией гамильтониана, даже если она сохраняет первоначальную симметрию.
Понятия случайного вырождения и вырождения, обусловленного симметрией, хорошо иллюстрируются на примере собственных
Фиг. 13. Схематическое изображение молекулярных волновых функций, преобразующихся по одномерным неприводимым представлениям группы равностороннего треугольника.
Псфвая нэ них соответствует линейной комбинации s-co-стояииЙ всех трех атомов. Две другие соответствуют линейным комбинациям р* состояний. Знаки «плюс» н «минус» определяют знак волновой функции в соответствующей «лопасти» р-состояния.
состояний свободного атома водорода, а простейшей теории атома водорода 2s- и 2р-состояния вырождены, и эти четыре состояния можно взять в качестве базиса представления группы симметрии атома водорода. (Эта группа содержит все вращения и все отражения.) Такое представление, однако, оказывается приводимым. Действительно, в данном случае система функций ф/ состоит из трех p-состояний и одного s-состояния, причем при вращениях и отражениях p-состояния линейно преобразуются друг через друга, а s-состояние не изменяется. Если немного изменить кулоновский потенциал, сохраняя его сферическую симметрию, то это приведет к разделению энергии s-состояния и энергии p-состояний (такое отклонение потенциала от кулоновского закона Mr имеется, например, внутри ядра). Если мы ничего не знаем о потенциале, кроме того, что он сферически симметричен, то мы можем утверждать, что p-состояния вырожденны, но не можем ничего сказать об энергии s-состояния.
Преобразуется поЛ1
40
Гл. /. Типы и симметрия твердых тел
Выше мы показали, что, зная представление, которому принадлежат собственные состояния, можно судить о степени их вырождения. Кроме того, если известны представления, то можно кое-что сказать и о свойствах симметрии волновых функций. Например, для гамильтониана, имеющего симметрию треугольника, мы знаем, что любое собственное состояние, принадлежащее представлению Ai, под действием любых операций симметрии группы треугольника не изменяется. Отсюда следует, что волновая функция этого состояния обладает симметрией треугольника. Если состояние принадлежит представлению Л2, то оно не изменяется при вращениях, но меняет знак при отражении. Мы можем заключить, что волновая функция обращается в нуль вдоль высот треугольника. Упомянутые волновые функции схематически представлены на фиг. 13. Наконец, известно, что собственные состояния, принадлежащие представлению Л3, преобразуются так же, как p-состояния, т. е. как координаты. В двумерном случае такие состояния образуют пары, их конкретный вид будет найден после обсуждения колебаний молекул. В случае группы треугольника мы не ожидаем появления трехкратного вырождения, поскольку нет трехмерных неприводимых представлений группы. Ниже будет показано, каким образом можно убедиться, что мы нашли все неприводимые представления этой группы.
