Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Приложения теории групп
51
нештрихованными. В этих обозначениях мы получили = х2. В более общем виде вектор-столбец х' выражается через вектор-столбец х с помощью матрицы, которую для преобразования С2 обозначим как Du (С2) .Таким образом, в матричных обозначениях имеем
xi = Dji (С2) xj. j
Матрицы Du (R) образуют представление группы симметрии молекулы. Переход от вектора смещений к нормальным координатам соответствует некоторому унитарному преобразованию от данного представления к эквивалентному. Нам нужно разложить представление D на неприводимые, для чего, как обычно, сначала найдем его характеры.
Искомые характеры проще всего получить с помощью диаграмм. Характеры определяются лишь диагональными элементами матрицы, т. е. ненулевой вклад в них могут дать лишь те элементы, которые связывают смещения xt и х[. В случае описанного выше поворота на 120° все атомы переставляются так, что штрихованное смещение одного атома связано с нештрихованным смещением другого атома. Все диагональные элементы матрицы поэтому равны нулю, и мы заключаем, что для всех вращений характеры равны нулю. При отражении, скажем при отражении относительно вертикально расположенной высоты треугольника, два атома — нижний левый и нижний правый — переставляются, так что матричные элементы
с / = 3......6 не дают вклада в характер. С другой стороны,
верхний атом при данном отражении остается на месте, и диагональные элементы для первой и второй компонент отличны от нуля. В частности, смещение Xj меняет знак, откуда следует, что?>ц (а) = = — 1. Смещение же х2 не изменяется и поэтому D22 (а) = + 1. Поскольку других ненулевых диагональных элементов нет, то, складывая Dn (а) и D22 (а), получаем, что характеры равны нулю и для отражений. При тождественном преобразовании смещения, очевидно, не изменяются, так что все диагональные элементы равны единице и характер равен 6. Выпишем полученную таблицу характеров
\Е За 2 С
ЛI 6 о о
Пользуясь этой таблицей характеров неприводимых представлений группы треугольника, мы можем теперь разложить матрицу преобразования на неприводимые представления:
Л = Л* + Л2 -+• 2Л3.
Таким образом, колебания треугольной молекулы, обладающей шестью степенями свободы, распадаются на 2 невырожденных
4*
52
Гл. /. Типы и симметрия твердых тел
нормальных колебания и две системы двукратно вырожденных колебаний. Если исключить возможность случайного вырождения, этот результат однозначен.
Мы получили искомый результат. Теперь продвинемся несколько дальше и попытаемся найти еще и форму нормальных колебаний. Оказывается, что эта задача полностью решается для невырожденных нормальных колебаний, но в случае двукратно вырожденных мод, преобразующихся по одному и тому же неприводимому представлению, остается некоторая неопределенность. Для данной цели необходимо, конечно, знать явный вид неприводимых представлений, и мы используем неприводимые представления, полученные выше. Если бы мы воспользовались другими двумерными неприводимыми представлениями, эквивалентными перечисленным выше, то получили бы другие линейные комбинации вырожденных мод, отличные от тех, которые приводятся здесь. Эти комбинации также давали бы правильное решение задачи, которое фактически эквивалентно получаемому ниже. Обратимся теперь к решению этой задачи.
Нормальное колебание с номером / в х-представлении, очевидно, определяется величинами х{ = UJi. При различных значениях i эти величины задают смещения отдельных атомов для нормального колебания с единичной амплитудой. Представим, как и раньше, нормальное колебание диаграммой, векторы на которой соответствуют смещениям атомов при /-м нормальном колебании с единичной амплитудой. Задача теперь сводится к построению совокупности таких диаграмм, преобразующихся по соответствующему неприводимому представлению. С этой целью допустим, что какая-нибудь определенная компонента х отлична от нуля, и с помощью преобразований симметрии найдем остальные компоненты.
Рассмотрим сначала неприводимое представление Л,. Допустим, что компонента xt вектора смещений отлична от нуля. Мы можем немедленно убедиться, что это предположение несовместимо с преобразованием вектора смещений по неприводимому представлению Л,. Действительно, при отражении относительно вертикальной высоты треугольника смещение х, меняет знак и направление соответствующей стрелки меняется на противоположное. Однако преобразование по неприводимому представлению At не изменяет моду колебания (тождественное преобразование), откуда мы заключаем, что компонента xt должна быть равна нулю. Допустим теперь, что = 0, но компонента х2 отлична от нуля. При отражении, использованном выше, стрелка х2 не меняется, и поэтому противоречия с преобразованием по Л, не возникает. В представлении At повороту на 120° по часовой стрелке также соответствует тождественное преобразование моды. Поэтому атом, попавший в результате вращения в верхнее положение, должен быть смещен в направлении от центра. Это означает, что на диаграмме, изображающей
§ 5. Приложения теории групп
