Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
И (ri, pt; г2, рг) = Н (г2, р2; г,, р,).
Что можно точно утверждать о собственных функциях ф (г2, г2) этого гамильтониана?
4. Найдите группу симметрии квадрата. Постройте таблицу умножения этой группы и разбейте ее на классы.
5. а. Постройте для группы квадрата таблицу характеров. Для этого проще всего сначала построить представления.
6. Снимается ли двукратное вырождение, если подвергнуть квадрат деформации сдвига (при которой длина его сторон не изменяется)?
6. Постройте таблицу характеров для группы симметрии задачи 2. Найдите расщепление атомного {{-уровня в окружении, обладающем этой симметрией.
7. Рассмотрим симметричную молекулу С02, атомы которой можно представлять себе связанными пружинками. Будем считать, что атомы могут двигаться только вдоль одной прямой, а в остальном свободны.
а. Что можно сказать о нормальных модах, пользуясь только соображениями симметрии?
б. Нарисуйте диаграммы нормальных мод для движения вдоль прямой.
8. Найдите вид нормальных колебаний молекулы, обладающей симметрией квадрата.
ЗАДАЧИ
Задачи
67
9. Рассмотрим состояния электронов примесного атома, расположенного в точке [110] а/4 ячейки гранецентрированной кубической решетки.
а. Найдите подгруппу операций симметрии, оставляющих на месте примесный атом [например, отражение в плоскости (001)).
б. Постройте таблицу характеров неприводимых представлений этой подгруппы.
в. Как расщеплены при наличии этой симметрии состояния s, р, d? (Необязательно находить симметрию состояний, достаточно найти лишь расщепление.)
10. Рассмотрим молекулу, обладающую симметрией правильного пятиугольника.
а. Найдите группу преобразований плоскости, не изменяющих гамильтониан.
б. Разбейте ее на классы.
в. Постройте часть таблицы характеров. Для всех представлений, кроме одномерных, достаточно найти характеры матриц, соответствующих единичному элементу Е. Для одномерных представлений нужны все характеры.
г. Найдите все нормальные моды, преобразующиеся по одномерному представлению.
д. Рассмотрим кристалл, построенный из таких молекул, которые расположены в кубической решетке таким образом, что одна из плоскостей решетки имеет вид
I-
тО О О О
о
о о о
ООО
Плоскость, расположенная над этой плоскостью (и под ней), имеет такой же вид, но сдвинута по отношению к ней на расстояние а в направлении х
5*
68
Гл. /. Типы и симметрия твердых тел
и на расстоянне а в направлении г. Какова группа трансляций кристалла?
е. Какова точечная группа кристалла?
ж. Может ли кристалл с такой симметрией быть пьезоэлектриком?
ЛИТЕРАТУРА»)
1. Harrison W. A., Pseudopotentials in the Theory of Metals, Benjamin, New York, 1963. (Имеется перевод: У. Харрисон, Псевдопотенциалы в теории металлов, изд-во «Мир», 1968.)
2. Nye J. F., Physical Properties of Crystals, Their Representation by Tensors and Matrices, Clarendon, Oxford, 1957. (Имеется перевод: Дж. Най, Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц, изд-во «Мир», 1970.)
3. Tinkham М., Group Theory and Quantum Mechanics, McGraw-Hill, NewtYork, 1964.
4. Bouckaert L. P., Smoluchowski /?., Wigner E. P., Phys. Rev., 50, 58 (1936). (Имеется перевод в книге: Р. Нокс и А. Голд, Симметрия в твердом теле, изд-во «Наука», М., 1970.)
Б. Bloch F., Zs. Phys., 52, 555 (1928).
6*. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, Физматгиз, М., 1963.
7.* Хейне В., Теория групп в квантовой механике, ИЛ, М., 1963.
1) Литература, отмеченная звездочкой, здесь и в других главах добавлена переводчиком и редактором перевода,—Ярик. ред.
II
ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
В последнем параграфе предыдущей главы мы показали, каким образом благодаря существованию группы трансляций появляются энергетические зоны в одномерном кристалле. Теперь мы сначала обобщим такое описание на случай трех измерений, а затем более подробно рассмотрим природу самих энергетических зон.
§ 1. СТРУКТУРА ЗОН
Мы уже определили для произвольной структуры примитивные векторы трансляций т1( т2 и т3. Группа трансляций кристалла содержит всевозможные суммы целых чисел этих трех трансляций. В общем случае векторы т4 кристаллической структуры могут иметь различные длины и не обязательно должны быть ортогональными. Однако мы требуем, чтобы они не были компланарными.
Как и для одномерного кристалла, мы снова примем периодические граничные условия. Мы будем рассматривать кристалл в форме параллелепипеда с ребрами М,т,, М2т2 и N3x3. Тогда при трансляции, например, параллельной ть мы будем считать, что атомы, сдвигаемые за пределы границы кристалла, вновь появляются на противоположной грани, так что в пределах своих границ кристалл остается при трансляции инвариантным. Кроме того, периодические граничные условия требуют, чтобы значения любой волновой функции и ее производной на противоположных гранях кристалла были одинаковыми. Группа трансляций содержит NiN3N3 различных трансляций, которые можно записать в виде
Тп = П,Т, + П2Т2 -г П3Х3, (2-1)
где 0 ^ щ < Nt. Аналогично одномерному случаю неприводимые представления имеют вид
&k>(Tn) = e-ihT», (2.2)
