Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
где теперь к — вектор, и в показателе стоит скалярное произведение. Каждый вектор к отвечает определенному неприводимому представлению группы. Эти векторы можно записать в виде линейных
70
Гл. II. Электронные состояния
комбинаций примитивных векторов обратной решетки кь к2 и к3:
? Xjki | Хйкг | х3кз /о о\
k = — +~NT + ~Nr' К 6)
где щ — целые числа, а
2ят2 х тз гг(хгхх3) 2ят3 X ti
t3-(t3-ti)
2ят1 X т3
2ят3ХТ! ,0>|Ч
к2- t,.(t3-ti) ’ (2А)
3 Тз-^ХТз)'
Подставляя (2.1) и (2.3) в (2.2), легко убедиться, что эти представления имеют такую же таблицу умножения, как и группа трансляций, и являются поэтому представлениями этой группы. Для каждого из Ni последовательных целых значений х; имеется свое представление. Таким образом, существует столько неприводимых представлений вида (2.2), сколько операций симметрии в группе трансляций, и представления (2.2) исчерпывают все неприводимые представления данной группы трансляций.
Мы снова будем характеризовать каждое электронное состояние волновым вектором к, отвечающим тому неприводимому представлению, по которому преобразуется данная волновая функция:
Тпгрь = е-*/‘-Т*фь-Как и раньше, определим блоховские функции
uk=e~ik*rrpk.
Тогда волновые функции будут иметь вид
rph = uheik‘r;
видно, что uh обладает полной трансляционной симметрией данной решетки.
Отметим, что представление, отвечающее волновому вектору к, то же самое, что и отвечающее волновому вектору:
k + mt к( -f т2к2 +т3к3,
где mt — целые числа. Добавление этих дополнительных членов не изменяет ни одного из представлений (2.2). Таким образом, в выборе вектора к, который должен быть связан с данным представлением, существует произвол. Поэтому желательно иметь какой-то рецепт, который позволил бы сделать такой выбор однозначным. С этой целью для каждого из представлений обычно отбирается наименьший по величине волновой вектор, который и будет генерировать это представление. (Такая процедура согласуется с тем,
§ 1. Структура зон
71
что мы предпринимали в случае одного измерения.) Область, в которой заключены все эти векторы к, есть трехмерная зона Брилмоэна, а волновые векторы, находящиеся в зоне Бриллюэна, часто называются приведенными волновыми векторами.
Совокупность векторов + m2k2 + m3k3 образует решетку в пространстве волновых векторов1). Величины kb к2 и к3 являются примитивными векторами трансляций этой решетки.
Прежде чем следовать дальше по пути формального использования теории трансляционной симметрии, стоит, вероятно, дать более наглядное описание электронных состояний и посмотреть, какой смысл могут иметь целые значения волновых векторов, связанных с этими состояниями. Рассмотрим потенциал, имеющий полную трансляционную симметрию решетки. Для линии, проходящей через ряд атомов, он схематически изображен на фиг. 20. Благодаря своей периодичности этот потенциал может быть разложен в ряд Фурье, содержащий только плоские волны с волновыми векторами, отвечающими узлам обратной решетки. (Это следует из интеграла Фурье и подробно показано в п. 2 § 4 настоящей главы.)
Мы уже видели, что собственную функцию электрона (схематически изображенную на фиг. 20, б) можно представить в виде произведения блоховской функции иь и плоской волны ехр (t/г -г) (фиг. 20, виг). Плоская волна (так же как и uh) удовлетворяет периодическим граничным условиям. Так как функция м* имеет полную периодичность решетки, ее также можно было бы разложить в ряд Фурье, содержащий только плоские волны, отвечающие векторам обратной решетки. Отсюда следует, что собственную функцию можно разложить в ряд Фурье, содержащий плоские волны с волновым вектором к и волновыми векторами, отличающимися от к на вектор обратной решетки; эти волновые векторы как раз и генерируют то представление, по которому преобразуется функция ф*.
Соответственно, если бы мы могли точно измерить истинный импульс электрона в состоянии ф*, то мы получили бы значения, соответствующие каждому из этих волновых векторов. Функция 4/, не является собственной функцией истинного импульса, поскольку, пролетая в потенциальном поле, электрон непрерывно обменивается импульсом с решеткой. Однако благодаря своей периодичности функция ф* содержит компоненты, отвечающие не любым значениям импульса, а лишь тем, которые соответствуют волновым векторам, генерирующим соответствующее представление. Такое описание — это один из путей физического объяснения неоднозначности
*) В теорин дифракции чаще говорят об обратной решетке, соответствующей решетке волновых векторов. Векторы обратной решетки в 2л раз меньше, однако в физике твердого тела решетку волновых векторов обычно называют обратной решеткой. Помня о множителе 2лл, мы также будем нсюду использовать термин «обратная решетка».
72
Гл. II. Электронные состояния
при выборе волнового вектора, который должен отвечать некоторому состоянию.
Мы нашлн, что данный волновой вектор к генерирует некоторое неприводимое представление, но любой волновой вектор, отличающийся от данного к на вектор обратной решетки, также даст
а ии
