Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Динамика электронов
81
же вид, что и соответствующее сечение изоэнергетической поверхности в пространстве волновых векторов.
Есть еще и другие аспекты движения в магнитном поле, которые следует упомянуть, прежде чем мы перейдем к детальному изучению зонной структуры. Мы уже отмечали, что если поверхности постоянной энергии замкнутые, то волновой вектор электрона совершает
Фиг. 24. Движение электрона в магнитном поле.
а — траектория в обратном пространстве, представляющая собой линию пересечения некоторой плоскости, перпендикулярной Н. с поверхностью постоянной энергии. В нескольких точках орбиты показаны также скорости в реальном пространстве, б — движение в реальном пространстве. Полная траектория очень сложна, но ее проекция на плоскость ху имеет ту же форму, что н траектория в обратном пространстве, только повернута иа 90*.
периодическое движение в обратном пространстве. Частота этого движения называется циклотронной частотой. Можно получить удобное выражение для циклотронной частоты, если построить две орбиты в пространстве волновых векторов, лежащие в одной и той же плоскости, перпендикулярной Н, но отвечающие двум различным энергиям, разность которых есть малая величина ДЕ. Две такие близко расположенные орбиты показаны на фиг. 25. В конце расчета мы устремим ДЕ к нулю. А пока, считая Д? бесконечно малой величиной, мы можем вычислить правую часть уравнения (2.9). Компонента скорости, перпендикулярная Я, есть просто
1 dE (к)
К dk *
6-0257
82
Гл. II. Электронные состояния
Мы аппроксимируем этот градиент величиной AE/Ak (где Ak отсчитывается в направлении, параллельном компоненте dE (k)/dk в данной плоскости) и получаем
dk еН >А?
" dt ~ he Д/s *
Здесь dk — бесконечно малое изменение волнового вектора вдоль орбиты за бесконечно малое время dt. Умножив теперь обе части
Фиг. 25. Линии пересечения двух изоэнергетическнх поверхностей в обратном пространстве некоторой плоскостью, перпендикулярной направлению магнитного поля Н.
Разность энергнЛ, соответствующих этим поверхностям, ДЕ мала, равно как и Дк — расстояние между поверхностями по нормали. Величина Дк раэличиа в разных точках орбиты; dk — изменение волнового вектора вдоль орбиты.
этого уравнения на Ak dt, проинтегрируем его вдоль орбиты. Заметим, что интеграл
ф Akdk
есть просто разность площадей в обратном пространстве, ограниченных двумя орбитами, т. е. ДА, а
§
dt
— период движения Т по орбите. Таким образом, мы имеем
Д/!-?§Г4?,
и, следовательно, циклотронная частота сос = 2я/Т определяется как
2яеН I дА \ -1 /0
а‘=-1Гг(аг) ’ <2Л0)
§ 2. Динамика электронов
83
где производная по энергии от площади, ограниченной орбитой (в пространстве волновых векторов), берется при постоянном значении компоненты к, параллельной магнитному полю. Теперь мы можем рассчитать циклотронные частоты для любой зонной структуры и любых орбит в магнитном поле. В отличие от случая, когда электрон движется через зону Бриллюэна в электрическом поле, часто оказывается возможным в эксперименте заставить электроны совершить в магнитном поле много оборотов.
Циклотронную частоту для газа свободных электронов можно определить из последнего выражения, однако она значительно более непосредственно получается и из уравнения (2.9), если подставить в него скорость для свободных электронов. В этом случае
В реальной зонной структуре очень естественно приписать электронам, вращающимся по орбите с данной циклотронной частотой, некоторую эффективную или циклотронную массу, выбираемую таким образом, чтобы при замене в выражении (2.11) массы т циклотронной массой получалась наблюдаемая циклотронная частота. Это позволяет нам описывать циклотронные частоты с помощью безразмерного параметра порядка единицы, равного отношению циклотронной массы к истинной массе электрона.
Такой общий подход при изучении динамики электронов может быть назван полуклассическим', мы будем им широко пользоваться при обсуждении явлений переноса. Полученная нами зонная энергия является функцией к и играет в точности ту же роль, что и гамильтониан, в котором импульс равен Як. Таким образом, расчеты зонной структуры дают нам полуклассический гамильтониан $?(р). Далее, можно ввести внешние силы (которые должны медленно меняться на расстояниях порядка межатомных), просто добавив соответствующие потенциалы (или вектор-потенциалы в случае магнитного поля). В результате получим полуклассический гамильтониан <#?(р, г), и уравнения (2.5) и (2.8) становятся просто эквивалентными классическим уравнениям Гамильтона:
1 дк (р, г)
Г“ ^ ’
д<й?(р, г) р dF *
Когда мы будем рассматривать одновременно много электронов, мы учтем дополнительно также и принцип Паули. Как именно это должно быть сделано, мы увидим при обсуждении явлений переноса.
6*
84
Гл. II. Электронные состояния
§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
Говоря об электронных состояниях, мы неявно предполагали, что можно рассматривать поведение некоторого индивидуального электрона, который движется в поле данного потенциала. Но такой подход является по необходимости приближенным, поскольку всегда имеется много электронов и они взаимодействуют друг с другом. Волновая функция системы зависит от координат всех присутствующих электронов, а благодаря взаимодействию между ними переменные в уравнении Шредингера не разделяются. Если бы мы смогли аппроксимировать взаимодействие данного электрона со всеми другими с помощью некоторого потенциала, зависящего лишь от координат данного электрона, то только в этом случае оказалось бы возможным представить гамильтониан в виде суммы членов, каждый из которых является функцией координат одного электрона, и только тогда можно было бы разделить переменные в уравнении и рассматривать электроны независимо. Такая аппроксимация называется приближением самосогласованного поля. Расчет должен быть самосогласованным, поскольку необходимо знать сами состояния, чтобы вычислить потенциал взаимодействия, который в свою очередь должен быть известен при определении состояний электрона.
