Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Можно рассмотреть зоны нашего одномерного кристалла и в другом предельном случае, когда потенциал, создаваемый ионами, очень велик. Если потенциал соответствует притяжению и достаточно велик (или если атомы расположены достаточно далеко друг от друга), то можно представить себе, что каждый ион образует некое атомоподобное состояние. Волновую функцию такого состояния изолированного одномерного атома, находящегося в точке па, можно записать в видеф (х — па). Вполне законно описывать состояния рассматриваемой нами системы с помощью набора из таких Функций N, каждая из которых соответствует энергии Е0. Можно, однако, составить эквивалентную систему состояний, представленных в блоховской форме. Так как атомные состояния вырождены,
62
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
то мы можем составить суммы Блоха
“ф* = N'1'* 2 е1Апаф (jк—па).
П
Нетрудно проверить, что эти состояния имеют блоховский вид и ортонормированы, если волновые функции отдельных атомов не
Фиг. 18. Зависимость энергии электрона от приведенного волнового числа для одномерного движения электрона в слабом периодическом потенциале с периодом а.
перекрываются. Такое представление состояний эквивалентно описанному выше. Соответствующая энергетическая зона содержит одно значение энергии, равное Е0 при всех k, лежащих в зоне Бриллюэна.
Если мы несколько ослабим потенциал, позволив атомным волновым функциям перекрываться (приближение сильной связи), то мы увидим, что выписанные только что блоховские функции остаются хорошим приближением к точным, но энергия начинает зависеть от волнового числа. Однако пока перекрытие волновых функций мало, ширина энергетической полосы остается малой. В дальнейшем мы увидим, что наличие узких полос, соответствующих сильной связи, характерно для зонной структуры изоляторов. Разумеется, при дальнейшем уменьшении потенциала эти полосы, постепенно деформируясь, превратятся в конце концов в энергетические полосы почти свободных электронов, обсуждавшиеся выше. В тех случаях, когда приближение сильной связи пригодно для описания энергетических полос в реальных кристаллах, мы можем связать каждую полосу с атомным состоянием, из которого она произошла. Так, в случае кристалла хлористого натрия можно говорить о Зр-полосах хлора и Зэ-полосах натрия. В § 7 гл. II мы, однако, увидим, что в случае очень узких полос (как для хлористого натрия) есть все основания полагать, что зонная картина вообще теряет смысл.
Аналогичным образом, используя соображения симметрии, можно проанализировать колебания кристалла. Рассмотрим небольшие смещения ионов (или атомов) линейной цепочки в направлении
§ 5. Приложения теории групп
63
оси х. Обозначим смещение п-го иона как ип. Задание N таких смещений полностью определяет состояние деформации этой системы.
Как и при описании колебаний молекулы, можно ввести нормальные координаты, являющиеся линейными комбинациями смещений отдельных ионов, и, как и в случае молекулы, нормальные координаты преобразуются по неприводимым представлениям группы симметрии системы, в данном случае по представлениям группы трансляций. Так как представления этой группы одномерны и определяются заданием волнового числа к, мы можем связать с каждой нормальной модой волновое число к, относящееся к неприводимому представлению, по которому эта мода преобразуется.
Сначала, как и при рассмотрении молекулярных колебаний, разложим представление, основанное на смещениях, на неприводимые представления. Для этого надо найти характеры представления, порожденного преобразованием
Un^'ZDmп (T\Um. т
Характер матрицы представления единичного элемента (Т = 0), очевидно, равен N. Все остальные трансляции сдвигают каждый атом, поэтому диагональные элементы соответствующих матриц равны нулю и характеры равны нулю. Разложение представления на неприводимые получаем теперь, следуя методу п. 7 § 4:
ak = N-^e-^x(T) = ^=l. т
Таким образом, каждому неприводимому представлению соответствует одна мода, преобразующаяся по этому представлению.
Теперь можно найти вид нормальных мод, как это было сделано для молекулярных колебаний. Рассмотрим моду, преобразующуюся по представлению с волновым числом k. Определим трансляцию деформированной цепочки как перенос ее в деформированном состоянии на соответствующий вектор трансляции. Если трансляция соответствует переносу на расстояние, равное та, то смещение нона, занимающего n-е положение после трансляции, будет равно смещению нп_т до трансляции. Так как смещения преобразуются по представлению с волновым числом к, то каждое смещение при этой трансляции приобретает множитель е~гкат, т. е.
ип-т — « ип*
Это позволяет нам выразить смещение каждого иона через смещение нона с п = 0:
um = eikamuQ.
Таким образом, вид нормальной моды полностью определяется заданием смещения единственного иона.
64
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
Поскольку координаты ит являются нормальными координатами, изменение их фазы со временем определяется фазовым множителем е~ш, где о — угловая частота данной моды. Считая, что и0 определяет смещение иона с п = 0 в момент t = 0, найдем смещение каждого иона как функцию времени:
