Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Электронные состояния данной системы можно выбрать таким образом, что каждое из них преобразуется по одному из неприводимых представлений (т. е. электронные состояния образуют базис неприводимых представлений). Для более удобной записи этих представлений введем волновое число k = 2nvJiJNa) и обозначим собственное состояние, преобразующееся по k-щ представлению, через фА.
Для изучения структуры этих состояний посмотрим, как они трансформируются под действием операций симметрии Т. (Чтобы отличать преобразование трансляции от расстояния, на которое производится перенос, мы записываем преобразование как Т.) Итак, состояние фА преобразуется при трансляции по закону
Тф* = е-1Лтф*.
Если теперь с помощью волновой функции ф* определить новую функцию
и* = <г1Л*фЛ,
где х — расстояние, измеряемое вдоль цепочки, то нетрудно убедиться, что
ТИ* = Иц.
Таким образом, функция uh инвариантна относительно всех преобразований трансляции решетки, и электронные состояния можно представить в виде
фА = uheihx.
Такую запись называют представлением в форме Блоха; функции uh часто называют блоховскими функциями *).
Разъясним теперь смысл всех этих манипуляций. Если бы функция Uh была постоянной, то собственные состояния были бы просто плоскими волнами свободных электронов. Из данного выше определения волнового числа k непосредственно следует, что эти плоские волны удовлетворяют периодическим граничным условиям на концах цепочки (т. е. если цепочка свернута в кольцо, то в точке соединения значение волновой функции на одном конце гладко переходит в ее значение на другом конце). Даже если функции ик не постоянны, нам удалось установить взаимно однозначное соответствие между состояниями электрона в кристалле и состояниями
*) Эти функции носят имя Блоха, так как он первый их ввел [5].
60
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
свободного электрона, причем наличие атомов учитывается просто переходом к функциям Блоха. Значение этого результата очень велико — с его помощью многие наглядные представления и методы, разработанные для изучения газа свободных электронов, можно приспособить для исследования состояний электронов в кристаллах.
Необходимо, однако, отметить, что значения, принимаемые волновым числом k, ограничены интервалом от —я/а до +я/а. Поэтому блоховскому состоянию соответствуют состояния свободного электрона, волновые числа которых заключены в небольшом
Фиг. 17. Зависимость энергии электрона от приведенного волнового числа для свободного одномерного движения электрона.
SJL О *_ к
а а
интервале значений. Возникает законный вопрос: что же произойдет с состояниями, отвечающими большим значениям волнового числа, которые обязательно возникали бы при обращении в нуль потенциала, созданного атомами? Любое такое состояние можно, очевидно, представить в виде
(Na)~ч* eihx = (Na)~4* е2я1пх/ае^к~2яп/а)х,
где п — положительное или отрицательное целое число, подбираемое таким образом, что приведенное волновое число k — 2яп/а лежит в интервале от —я/а до +я/а. Множитель (Na) ~1/2 введен для нормировки плоской волны. Мы записали волновую функцию в форме Блоха, причем блоховская функция имеет вид
e2jrfn х/а
уш
Нетрудно непосредственно проверить, что, как и требуется, эта функция инвариантна относительно всех трансляций, совмещающих решетку с собой. Каждому состоянию свободного электрона соответствует теперь некоторое значение приведенного волнового числа, а зависимость энергии электрона от приведенного волнового числа можно представить, как показано на фиг. 17.
§ 5. Приложения теории групп
61
Заметим, что мы изобразили собственные значения энергии с помощью непрерывных кривых, называемых энергетическими зонами (полосами). Такое приближение разумно для больших систем (как для свободных электронов, так и для электронов в кристалле), в которых разрешенные значения волнового числа чрезвычайно близки друг к другу. Так, для цепочки, состоящей из 10® атомов (что соответствует типичному межатомному расстоянию в макроскопических кристаллах), разрешенные значения волнового числа 2nn/Na остаются в области приведенных волновых чисел для Ю8 значений п. Поэтому переменная k квазинепрерывна и можно считать зоны непрерывными функциями k.
Собственные состояния свободного электрона представляют собой набор энергетических зон, каждая из которых соответствует волновым числам, принадлежащим зоне Брилмоэна, т. е. области в пространстве волновых чисел, занимаемой приведенными волновыми числами. О состоянии, которое имеет наименьшую энергию при заданном значении волнового числа, говорят, что оно лежит в первой энергетической зоне. Следующее состояние с наименьшей энергией лежит во второй зоне и т. д. Таким образом, состояние теперь определяется заданием приведенного волнового числа и номера зоны. Для описания состояний свободного электрона такой способ неоправданно сложен, однако для задания состояний в кристалле он очень удобен.
Теперь мы покажем, что в слабом периодическом потенциале функции uh не постоянны, а энергия каждого из состояний несколько сдвигается по отношению к энергии свободного электрона. В частности, оказывается, что в точках ±п/а и 0, где зоны были вырожденными, они теперь отделяются друг от друга. Таким образом, в случае почти свободных электронов в кристалле энергетические зоны можно схематически представить в том виде, в каком они изображены на фиг. 18. Оказывается, что в простых металлах эффект периодического потенциала действительно очень мал, и поэтому такое представление о зонах почти свободных электронов вполне оправданно.
