Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
2. Представления
Представлением группы называется совокупность матриц, таблица умножения которых совпадает с таблицей группы. Представление группы обозначается как D (R), где D есть матрица, соответствующая операции симметрии R. Величины Du (R) при различных значениях индексов i и / представляют собой матричные элементы матриц представления. Каждой операции симметрии соответствует некоторая матрица. Совокупность всех этих матриц и образует представление. Выше было указано, что таблица умножения для представления должна быть такой же, как для группы. Произведение матриц представления определяется обычным правилом перемножения матриц. Это означает, что для любых двух элементов группы Ri и Rо, произведение которых равно R3, т. е.
Ri* R2 ^3*
§ 4. Соображения симметрии и теория групп
33
должно выполняться соотношение
0/;(Я3)=2Яп(Я,)?МЯ2). (1.4)
I
Это соотношение имеет смысл только в том случае, если все матрицы данного представления имеют одинаковую размерность. В дальнейшем мы будем рассматривать только группы с помощью унитарных матриц. Смысл этого ограничения разъясняется чуть ниже.
Заметим, что матрицы, представляющие различные элементы группы, не обязаны отличаться друг от друга. Часто они могут совпадать; в частности, отметим специальный случай, когда каждому элементу ставится в соответствие 1, т. е. одномерная матрица, единственный элемент которой равен 1. Это представление, очевидно, удовлетворяет условию (1.4) и называется единичным (или тривиальным) представлением. Такое представление можно построить для любой группы симметрии.
Можно найти общий вид матрицы представления единичного элемента группы симметрии Dtj (?). Она должна удовлетворять условию
'%Dil(E)D,j(R) = Dij{R).
i
Это условие может быть выполнено для любых элементов R лишь в том случае, если матрица Dtj (Е) совпадает с единичной матрицей bjj. Таким образом, элементу Е всегда соответствует единичная матрица представления.
Унитарная матрица, обозначаемая символом U, определяется условием
U+ = U~1, (1.5)
где верхний индекс + (часто употребляется также f) обозначает эрмитово сопряженную матрицу (комплексное сопряжение каждого элемента, сопровождаемое перестановкой строк и столбцов), т. е.
(U+)„ = UtI
Действие унитарного преобразования на вектор-столбец сводится просто к повороту вектора. В отличие от унитарной матрицы эрмитова матрица удовлетворяет условию
Я+ = Я.
Пользуясь правилом перемножения матриц, можно показать, что (UW)u = 2 mnUu = 2 UtiUu = Et3 = 61},
i i
где предпоследнее равенство следует из определения (1.5). Мы видим,
что
^UWu = bu-
3-0257
34
Гл. I. Типы и симметрия твердых тел
Таким образом, столбцы всякой унитарной матрицы являются компонентами ортогональных векторов. Аналогично из равенства UU* = Е следует, что строки унитарной матрицы также образуют систему ортогональных векторов.
Определим теперь унитарное преобразование матрицы и покажем, что оно не изменяет ее след. В теории групп след всякой матрицы представления называется ее характером. Характер матрицы D есть
х(*)-2л« (*).
i
Унитарное преобразование матрицы D определяется соотношением
D’ = U DU+ или в более подробной записи
UtlDlmU1m.
I, т
Таким образом, характер матрицы D' равен X' (R) = 2 UnDlm (R) Utm = S бimDlm (R) = S Du (R) =? X (R),
i,l,m l,m I
что и доказывает сделанное выше утверждение. Легко также показать, что унитарное преобразование унитарной матрицы оставляет ее унитарной.
3. Эквивалентное представление
Рассмотрим представление D(R) группы симметрии с элементами R. Матрицы D должны быть унитарными. Возьмем некоторую унитарную матрицу U, имеющую ту же размерность, что и матрицы D, и применим ко всем матрицам D (R) унитарное преобразование UD (R) U*. Мы получим новую систему матриц, каждая из которых связана с одним из элементов R. Нетрудно показать, что эта новая система матриц также образует представление группы, т. е. что ее таблица умножения совпадает с таблицей умножения группы. Два представления, связанные таким образом, называются эквивалентными.
Из сохранения следа матрицы при любых унитарных преобразованиях следует: следы % (R) одинаковы для всех эквивалентных представлений. Это также означает, что для заданного представления следы (т. е. характеры) элементов, принадлежащих одному и тому же классу, одинаковы. Оказывается, большую часть информации, извлекаемой из симметрии, можно получить, зная лишь характеры представлений. Это означает, что в большинстве случаев нет никакой необходимости отличать преобразования симметрии, принадлежащие одному и тому же классу группы, и что можно не
§ 4. Соображения симметрии и теория групп
35
обращать внимания на различие эквивалентных представлений этой группы.
Если мы имеем два представления D1 (R) и D2 (R) некоторой группы (они могут быть эквивалентными или неэквивалентными), то система матриц
Г D1 (R) О 1 О D2(R)\
также, очевидно, образует представление этой группы. Размерность матрицы D3 равна сумме размерностей матриц D1 и D2, причем матрица D1 занимает верхний левый угол, матрица D2 — нижний правый угол, а остальные элементы матрицы D8 равны нулю. Представление, все матрицы которого представимы в таком виде, называется приводимым представлением. Представление называется неприводимым, если не существует ни одного унитарного преобразования, которое приводит каждую матрицу этого представления к такой «блочно-диагональной» форме. Неприводимые представления играют центральную роль в приложениях теории групп.
