Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
^=2(к,-к>р**"
к'
Поскольку d{k)/dt должна быть параллельной (к), можно записать
т = - [ S ^ “cos 0)р**'] <к>s —т- • (з-68)
к-
Множитель 1 — cos 0 следует включить в интеграл (2.66). Поэтому в выражении (2.67) появляется дополнительный множитель q2/2k2. Частоту столкновений мы представили в виде 1/т. Параметр т называется временем релаксации *), и он непосредственно используется для получения кинетических свойств. Заметим, что решением уравнения (2.68) служит выражение
(к (/)) = (к (0)> е~г,х.
!) Часто его называют транспортным временем столкновения, или временем релаксации импульса.— Прим. ред.
224
Гл. //. Электронные состояния
Мы можем, если пожелаем, провести вычисления и в более высоких порядках теории возмущений. Во втором порядке фигурирующий в соотношении (2.64) матричный элемент следует заменить на
(k'\W\k) -> (к' | Ц? | k) + - к< 1 У?к j. ?*]W1 к> • (2.69)
к» * Л'
В этом случае нужно различать два типа слагаемых второго порядка- Во-первых, такие слагаемые, в которые входят произведения матричных элементов (2.63), обусловленных самой примесью. Эти поправки, вообще говоря, малы и не меняют заметным образом картины, которая возникает уже в низшем порядке. Учет такого рода поправок во всех порядках соответствует точному вычислению рассеяния псевдопотенциалом примеси, как это делается при определении рассеяния с помощью фаз.
Имеются и слагаемые другого типа, в которых один из матричных элементов в сумме выражения (2.69) есть матричный элемент псевдопотеициала идеальной решетки. Такие слагаемые дают вклад при любых к, поскольку дельта-функция по-прежнему связывает только векторы к' и к, а промежуточные состояния вовсе не должны иметь ту же энергию. Довольно просто убедиться в том, что эти слагаемые имеют такой же порядок по N, как и слагаемые высших порядков первого типа, равно как и слагаемые первого порядка. Матричные элементы псевдопотеициала идеального кристалла дают поправки к рассеянию, обусловленные зонной структурой. Эти эффекты легко поддаются вычислению, причем такие вычисления неизмеримо проще тех, с которыми нам пришлось бы столкнуться, если бы мы не использовали псевдопотенциалы. В принципе можно было бы сначала найти зонную структуру, а затем попытаться определить рассеяние с помощью табулированных волновых функций и энергий. Такие вычисления были бы чрезвычайно сложными. Используя же теорию возмущений в высших порядках, можно систематически учитывать слагаемые в каждом заданном порядке по псевдопотенциалу и легко получить таким образом осмысленные результаты для простых металлов. Подобные вычисления приводят к результатам при весьма незначительных затратах усилий.
Вычисление рассеяния в полупроводниках не удается свести к столь прозрачной форме. Мы опять-таки можем представить возмущение в виде разницы в псевдопотенциалах основного и примесного атомов, но теперь в качестве невозмущенных волновых функций следует брать соответствующие блоховские функции, а они отличаются от простых плоских волн. Если можно надеяться на то, что примесный потенциал достаточно дальнодействующий (как мы предполагали это при получении донорных состояний), то можно с успехом воспользоваться приближением эффективной массы и вычисления тогда проводятся непосредственно и просто. Если же
§ 9. Зоны переходных металлов
225
возмущение сильно локализовано вблизи примеси, то возникают те же трудности, которые появляются в случае глубоких примесных состояний. Здесь мы можем выразить амплитуду рассеяния через фазы или воспользоваться теорией возмущений. Основная трудность состоит в получении приближенных матричных элементов. Коль скоро они уже найдены или сделаны какие-то предположения об их форме, вычисление времени релаксации проводится точно так же, как и для простых металлов.
§ 9. ЗОНЫ ПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ
К переходным металлам, т. е. к металлам с частично заполненными d- или /-оболочками, относится большинство элементов периодической системы. Энергетические зоны всех элементов ряда железа очень похожи на зоны меди, которые мы уже рассматривали выше; медь замыкает этот ряд. Ввиду такого сходства между благородными металлами и стоящими перед ними в том же периоде переходными металлами мы можем считать благородные металлы (в отношении структуры энергетических зон) также членами этого ряда.
Совсем недавно [49] было доказано, что можно обобщить метод псевдопотенциалов для простых металлов на случай переходных металлов. В п. 1 настоящего параграфа мы для начала набросаем в общих чертах план построения псевдопотенциалов для переходных металлов. В п. 2 мы обсудим более ранние попытки приближенного рассмотрения зонной структуры, оставаясь, однако, в рамках последней новой теории. Как для простых металлов, так и для переходных конечной целью введения псевдопотенциалов является использование их в теории возмущений и непосредственный расчет свойств без расчета самих зонных структур. Поэтому мы вернемся в п. 3 к обсуждению псевдопотенциалов для переходных металлов и их использования в теории возмущений.
1. Псевдопотенциалы для переходных металлов
