Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Посмотрим на хвост резонансного состояния. На больших расстояниях он опять-таки ведет себя как sin (kr + б)/г. Его амплитуда мала, но из соотношения (2.53) видно, что тем не менее в бесконечной системе волновая функция не нормируема. Она нормируема в нашем металлическом кристалле, но тогда вероятность того, что электрон находится в пределах ячейки атома серебра, есть величина порядка отношения радиуса ячейки к радиусу кристалла rJL. Здесь вероятность оказывается намного большей, чем она была бы для свободных электронов, хотя по-прежнему и бесконечно малой для бесконечной системы.
Рассмотрим теперь энергию вблизи Eid> Интегрирование уравнения Шредингера внутри атома серебра не приведет теперь к столь малой величине волновой функции на границах ячейки, и, следовательно, хвост окажется несколько большим. Нормированная волновая функция даст поэтому несколько меньшее значение для вероятности пребывания электрона в пределах атома серебра по сравнению с вероятностью для резонансного состояния с энергией Eid, хотя по-прежнему эта вероятность будет больше соответствующей вероятности для свободного электрона. Таким образом, возникают интервалы энергий, в пределах которых лежат зонные состояния с преимущественной вероятностью нахождения электрона на атоме серебра. Если мы будем еще больше удаляться от резонансной энергии и достигнем энергии ?|nt (фиг. 62), то увидим, что волновая функция по мере приближения к границе ячейки, где ее надлежит
STf*
г
E>0
Ф и г. 62. а — потенциал V (г) для свободного атома серебра, равный сумме
Четыре нижние кривые представляют зависимости от радиуса функций Р, (г) = rR, (г), аиааеииях анергии! Е слегка превышает нуль, E<(j равна энергии 44-состояиия свободного
6 — потенциал V (г), измененный в результате помещения атома серебра Эго яаиененне сводится к уменьшению V (г) при больших г на величину ?«, равную эиер Ниже представлены результаты интегрирования радиального уравнения Шредингера 4-состояние превращается в резонансное.
б
потенциальной и центробежной энергий, т. е. (ft*/2m) [/ (/ -|- 1)/г*].
полученных при иитегрнроааиии радиального уравнения Шредингера при следующих атома, ?jnj чуть меньше ?4<j н Е^ — энергия За-состояиия свободного атома.
в кристалл алюминия.
гнн дна зоны проводимости алюмнння. Предполагается, что ?, лежит между ?J(J и ?jnt. с измененным потенциалом, но при тех же энергиях, что и в случае а. В металле атомное
216
Гл. II. Электронные состояния
сшить с осциллирующим хвостом, экспоненциально возрастает. Таким образом, хвост этот становится очень большим и нормированная волновая функция приведет к очень малой вероятности пребывания электрона в пределах атома серебра. Это опять-таки соответствует рассеянию электрона от атома серебра, ведущего себя на сей раз как отталкивающий центр.
Все вышеизложенное очень важно для понимания природы электронных состояний в твердых телах. Наши рассуждения находятся в полном соответствии с зонными представлениями, согласно
Фиг. 63. Рассеяние электрона с волновым вектором к на примеси.
В результате рассеяния возникает сферическая волна, ведущая себя на больших расстояниях как f (в) е*А|7*г. Рассеяние можно. с другой стороны, рассматривать и как переходы в состояния с волновым вектором к', причем вероятность таких переходов в единицу времени пропорциональна 11 (6) |*. где в — угол между векторами к и к'.
которым электрон коллективизирован всей системой. Тем не менее мы обнаружили, что вероятность найти на атоме серебра электрон с моментом, отвечающим ^-состоянию, и энергией, близкой к энергии ^-состояния свободного атома, очень велика. Более того, мы убедились в том, что вероятность пребывания на атоме серебра электрона с некоторой энергией, отличающейся от его энергий в свободном атоме, очень мала. Удалив атом алюминия, мы уменьшили число электронов проводимости на 3, а все это уменьшение оказалось сосредоточенным в пределах ячейки, содержащей атом серебра. Хорошим приближением для описания пространственного и энергетического распределения электронов могут служить просто соответствующие распределения в свободных атомах, хотя на самом деле и происходит некоторое уширение уровней. Мы видим, таким образом, что физические рассуждения, основывающиеся на представлениях, позаимствованных из теории атомов, не вступают в противоречие с развитой нами зонной картиной.
До сих пор речь шла о d-состояниях, для которых резонансы узкие и такого рода представления особенно плодотворны. Конечно, резонансы могут возникнуть из состояний с любым угловым моментом, так что и для них останутся справедливыми приведенные выше рассуждения. Такого рода резонансы могут возникнуть в полупро-
§ 8. Примесные состояния
217
водниках, зона проводимости которых, например, имеет локальный минимум. Здесь следует ожидать появления локализованного вблизи примеси состояния, как это было уже описано в п. 2 § 8. Однако если зона проводимости в некоторой другой точке зоны Бриллюэна лежит по энергиям ниже, чем этот локальный минимум, то рассматриваемое состояние имеет положительную энергию, хотя оно может и оставаться резонансным, как это описывалось выше.
