Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Мы исследовали вопрос о сдвигах энергии, возникающих при внесении в идеальный кристалл примеси или дефекта. Интересно теперь интерпретировать на основе теории рассеяния получающиеся при этом изменения в структуре волновых функций.
Рассеяние на отдельной примеси мы будем описывать с помощью псевдоволновой функции, состоящей из падающей волны е'кг и расходящейся рассеянной волны, которая на больших расстояниях имеет вид / (0, q>) eikr/kr, где / (0, q>) — амплитуда рассеяния х):
фжв»-г + /(0, ф)-4г"
Если одну из осей системы координат направить вдоль к, то зависимость от угла ф исчезнета) и оба слагаемых можно разложить по сферическим гармоникам. Тогда задача сводится к решенной нами ранее задаче на собственные значения и амплитуду / (0) можно выразить через фазы в следующем виде [45]:
00
Нв) = ж2 (2l + l)(emi -l)P,(cos0).
(=0
Таким образом, полученные нами ранее результаты имеют самое непосредственное отношение к амплитуде рассеяния.
Приведенное выражение совершенно точное. Если фазы малы по сравнению с л, экспоненты можно разложить в ряд и, используя соотношение (2.58), записать
/ (0) = 2 W+!) (cos0) = —W <k + ЧI “>1 k>.
i
где w — псевдопотенциал, приводящий к рассеянию. Дифференциальное сечение рассеяния задается выражением
•m-iift.
Оно представляет собой отношение потока рассеянных частиц к плотности потока падающих. Потоки следует находить вне внут-
]) Следует обратить внимание, что это определение амплитуды рассеяния отличается от обычного (см. [72)) множителем l/k.— Прим. ред.
*) Конечно, при условии сферической симметрии потенциала.— Прим.
ред.
220
Гл. II. Электронные состояния
ренних оболочек, т. е. как раз там, где псевдоволновая функция совпадает с истинной, что и оправдывает использование первой. Таким образом,
а(0) = Й-Кк + чМк>1а- (2-60)
Те же выражения можно получить для уравнения с псевдопотенциалом, исходя и из теории возмущений, зависящих от времени. Эта процедура более обычная, и здесь мы будем следовать именно ей. В ее рамках нам удастся более ясно разделить влияние примесей и периодического потенциала. Оказывается удобным вновь вернуться к кристаллу с периодическими граничными условиями.
Теория возмущений, зависящих от времени, применима и для полупроводников, где мы рассмотрим взаимодействие частицы положительной энергии с атомом донора, несмотря на то, что здесь существует связанное состояние. В этих случаях псевдопотенциал надлежит выбрать таким образом, чтобы он приводил к фазам меньшим л. Такой выбор возможен всегда, когда либо в полупроводнике, либо в простом металле рассеивателем служит атом непереходного элемента. Как мы увидим в следующем параграфе, этот метод годится даже в случае атома переходного металла, если только интересующее нас состояние не слишком близко к резонанс .
Рассмотрим сначала рассеяние электрона примесным атомом простого металла в кристалле другого простого металла, например примесью магния в алюминии. Можно написать псевдопотенциал металла, содержащего примесь. Он имеет вид суперпозиции псевдопотенциалов, центрированных на каждом ионе, причем псевдопотенциал примесного иона отличается от псевдопотеициала иона основного вещества. Если, например, атом основного вещества типа а в узле г0 заменить атомом примеси типа Ь, то псевдопотенциал примет форму
И?(г) = [ S ш°(г-г,)] + шь(г-Го). (2.61)
Псевдопотенциалы отдельных атомов можно сконструировать так же, как и раньше. Потенциал, входящий в эти псевдопотенциалы, можно опять-таки представлять себе в виде потенциала свободного атома либо использовать должным образом экранированный потенциал, как это будет описано вп.4§ 4 гл.III. Начнем с псевдовол новых функций нулевого приближения, представляющих собой просто плоские волны. Им отвечают волновые функции нулевого порядка, которые суть плоские волны, ортогонализованные к волновым функциям внутренних оболочек (в области примеси они ортогонали-зованы, конечно, к функциям внутренних оболочек примесного атома). Найдем теперь матричные элементы псевдопотеициала между состояниями в нулевом приближении, описываемыми плоскими
§ 8. Примесные состояния
221
волнами. Для этой цели удобно переписать псевдопотенциал (2.61) в виде
W (г) = [S а/* (г - г,)] + шь (г - г0) - аЛ (г - г„). (2.62)
ri
Первое слагаемое есть просто псевдопотенциал идеального кристалла. Он имеет только такие матричные элементы, которые связывают состояния, отличающиеся на вектор обратной решетки, а эти матричные элементы мы уже нашли ранее. Оставшееся слагаемое есть возмущение, вносимое при добавлении примеси. Его матричный элемент имеет вид
<к + я|Г|к> = -^Р-[<к + Ч|шь|к) —<к + Ч|ш°|к)]. (2.63)
Матричный элемент от W, стоящий слева, взят между плоскими волнами, нормированными на объем кристалла. Матричные же элементы, стоящие в правой части этого равенства, представляют собой OPW формфакторы, которые мы ввели раньше и которые отвечают нормировке в пределах одной атомной ячейки. Эта разница в нормировках и приводит к возникновению фигурирующего в правой части (2.63) множителя 1 IN. Матричный элемент возмущения связывает любые два состояния.
