Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
206
Гл. II. Электронные состояния
Существует очень мощное соотношение, называемое правилом сумм Фриделя [111, связывающее фазы с числом электронов, сосредоточенных в окрестности примеси. Кроме того что это правило сумм чрезвычайно важно само по себе, при его выводе выявляются некоторые весьма содержательные с физической точки зрения обстоятельства. Мы займемся сейчас его получением. Вывод основан на преобразовании интеграла по объему от квадрата волновой функции в интеграл по поверхности, проходящей в той области, где применимо асимптотическое выражение для волновых функций. Это преобразование и приводит к искомому соотношению между локальной электронной плотностью и фазами.
Когда действует потенциал примеси и модифицируется волновая функция, в окрестности примесного центра изменяется и плотность вероятности нахождения электрона. Такое изменение плотности следует искать, пользуясь не псевдоволновой, а истинной волновой функцией. Поэтому мы будем работать с уравнением Шредингера, а не с уравнением с псевдопотенциалом. По ходу дела мы укажем, какие изменения следует внести, если пользоваться уравнением с псевдопотенциалом.
Радиальное уравнение Шредингера в полной аналогии с псевдо-потенциальным уравнением (2.43) записывается в виде
ft® 1 д a^nii//\ni^an^+l)r« т /о ci\
“?2ST7r-3rre-3F/?* + VW/?'+-2Sr-V-L/?|e?/?'- <2'51>
Без ограничения общности функцию Ri можно выбрать действительной. Напишем подобное же уравнение для состояния со слегка отличающейся энергией ?':
—яг -Г •?"r' w Ri+vМ Ri+яг к=Е'К- <2-52>
Умножим уравнение (2.51) на R[ слева, а (2.52) на Ri справа. Умножим далее оба на 4лга и проинтегрируем от начала координат до некоторого большого радиуса М (меньшего, однако, радиуса системы). Вычитая затем (2.52) из (2.51), получаем
о о
м
= (?-?') J 4яr2RiRtdr.
о
Следует обратить внимание на преимущество, которое возникает из-за того факта, что V (г) — простой потенциал, и состоит в том, что слагаемые, содержащие V (г), взаимно уничтожаются. Если бы мы использовали псевдопотенциал, то вследствие его зависимости от энергии эти слагаемые не уничтожились бы. Разность между
§ 8. Примесные состояния
207
плотностями заряда, найденными с помощью величин q>*q> и представляет собой ортогонализованную дырку и тесно связана с энергетической зависимостью псевдопотенциала. Анализ, аналогичный приводимому ниже, дает прямую связь между ними [46].
Оба стоящие слева интегралы можно один раз проинтегрировать по частям. Возникшие в результате интегралы взаимно уничтожаются и остаются лишь слагаемые, отвечающие значению на поверхностях нулевого радиуса (где они равны нулю) и большого радиуса М:
-тЛ1! *;)„-<?-??> [•wm.4r-
о
Пусть теперь Е' приближается к Е. Тогда мы можем записать Замечая, наконец, что
получаем
Таким образом, нам удалось выразить интеграл от по области, ограниченной сферой с радиусом М, через волновые функции на ее поверхности.
Положим теперь радиус М настолько большим, чтобы было справедливым асимптотическое выражение (2.50). Тогда можно сразу же провести дифференцирование, если учесть при этом, что фаза есть функция энергии или волнового вектора. После некоторых преобразований получим
j 4nr2RWr = -^A*i[M+^- 5|п2(Ш~/п/2+6') 1. (2.53) о
Из этого выражения можно найти нормировочные множители. Заметим, что если М становится равным радиусу системы L, стоящий слева интеграл обращается в нормировочный интеграл и должен быть равен единице. Первое слагаемое, стоящее в скобке при М = L, намного превосходит остальные два, и поэтому величина 2лЛ*/Аа должна быть равна ML.
Нас интересуют изменения локальной плотности, связанные с появлением фазы. Поэтому вычтем из выражения (2.53) соответ-
208
Гл. II. Электронные состояния
ствующее выражение при нулевых фазах. Обозначив локальное изменение электронной плотности через бп, после некоторых преобразований получим
бя = — Sll^fy cos (2kM — /я + 6t) j.
Это выражение отвечает одному состоянию. Его можно просуммировать по всем занятым состояниям, допускаемым периодическими граничными условиями. Каждому / отвечает 21 + 1 значений проекции момента т и Ldk/n значений волнового вектора в интервале dk, причем каждому из них соответствуют два спиновых состояния. Таким образом, полное число избыточных электронов вблизи примеси задается выражением
AN =
= 1Г2 (2/+ 1) -^-со8(2Ш—/я+6,)].
« о
(2.54)
Раньше при выводе правила сумм Фриделя осциллирующее слагаемое в (2.54) отбрасывалось. Теперь же стало ясно, что оно существенно. Мы не в состоянии точно вычислить соответствующий интеграл по k, но для осциллирующей электронной плотности
.... 6АМ/ЬМ
Р(Ю—шг-
можем получить асимптотический ряд при больших М, производя последовательное интегрирование по частям. Основное слагаемое есть
Р ('’)= — 2^р- %(2l+ l)( — l)'s in б, cos (2 kFr+ б;), (2.55)
i
где фаза отвечает энергии, равной энергии Ферми. Эти осцилляции электронной плотности называются осцилляциями Фриделя. Причина их физического происхождения заключается в скачке заполнения состояний на поверхности Ферми.
