Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Дополнительный псевдопотенциал, возникающий вследствие внесения примеси, оказывается слабым возмущением по тем же причинам, по которым малы сами формфакторы. Различие же в потенциалах примесного и основного ионов в то же самое время может быть большим. Если, например, поместить в алюминий ион галлия, то разница в потенциалах будет настолько большой, что у волновой функции вблизи примеси появится дополнительный узел. Это соответствует тому обстоятельству, что галлий в качестве валентных имеет 4s- и 4р-электроны, в то время как валентные электроны алюминия находятся в 3s- и Зр-состояниях. Поэтому было бы неправильно рассматривать в качестве возмущения разницу в истинных потенциалах идеальной решетки и решетки с дефектом, так как фазы оказались бы больше я и разложение по ним было бы несправедливым. В методе же псевдопотенциала, с другой стороны, этот дополнительный узел учитывается процедурой ортогонализации и разница в псевдопотенциале оказывается действительно малой.
Теперь мы будем рассматривать этот псевдопотенциал как причину рассеяния электронов. Вероятность рассеяния задается «золотым правилом»:
Рь. =х-1 <k' IWI к> I* 6 ~ (2-64>
где псевдопотенциал W определяется соотношением (2.62). Первое слагаемое в (2.62) во много раз (примерно в N раз) превосходит два последних. Оно связывает каждое состояние к с каждым из состоя-
222
Гл. //. Электронные состояния
ний к', отличающихся от первого на вектор обратной решетки. Но вклад в рассеяние возникнет, согласно (2.64), только если конечное состояние будет иметь ту же энергию нулевого приближения, что и начальное. Эти условия сводятся, конечно, к требованию, чтобы сосюяние к лежало на плоскости брэгговского отражения, т. е. на гранях зоны Бриллюэна. Для любого из таких электронов вычисленная вероятность перехода оказалась бы огромной. Если, однако, интересоваться электрической проводимостью, то следует иметь в виду, что столь сильное рассеяние претерпевает лишь бесконечно малая доля всех электронов. Удаление даже всех их из процесса проводимости не может привести к сколько-нибудь заметному изменению величины проводимости. Это взаимодействие более разумно учитывать в зонной структуре. Для любого же электрона, волновой вектор которого не лежит в плоскости брэгговского отражения, такие матричные элементы вклада в рассеяние не дают. Обратимся поэтому к матричным элементам, определяемым соотношением (2.63). Вероятность рассеяния есть
Pk.k' = | <k + q | wb | к)—(к + q | wa | к> 12б (Eh— Eh). (2.65)
Эта вероятность содержит множитель, равный обратному квадрату полного числа атомов, однако вскоре мы увидим, что, несмотря на это, Ры,> и есть как раз та величина, которую мы ищем.
Нас может интересовать полная вероятность рассеяния в единицу времени для данного электрона, т. е. сумма вероятности (2.65) по всем конечным состояниям к'. Так как все состояния образуют квазиконтинуум, сумму можно заменить интегралом. Для этого умножим (2.65) на плотность конечных состояний (с тем же спином, поскольку только такие состояния связываются матричным элементом), равную й/(2я)*. Предположим, в частности, чтоклежитна ферми-сфере. Тогда интегрирование по волновым векторам сводится к
j 2nkri dk' sin 0 dQ,
где 0 — угол между кик'. Интегрирование по <р производится сразу же, так как матричные элементы от <р не зависят. Можно сначала провести интегрирование по величине к', используя при этом фигурирующую в соотношении (2.65) дельта-функцию:
2 Pkh' = -Щ- "(2I 2л?'а sin 01 <k' | wb | k> -
k'
-{k'\tlr\k)F1?p-8(k>-k)dk>dQ =
n
= Jl<k'|wb|k>-<k'|i*Hk)I*sin0dQ, (2.66)
0
§ 8. Примесные состояния
223
где Q0 — объем на один атом. Следует отметить, что из-за дельтафункции начальные и конечные состояния в каждом из формфакторов лежат на поверхности Ферми. Поэтому они в точности совпадают с теми формфакторами, которые мы уже описывали ранее. Используя связь между углом и q, можно переписать интеграл по углам в виде интеграла по q:
2ft
2>р»'=-тт-||<к+ч1^1к>-(к+ч1^1к>12^- (2.67)
Это выражение эквивалентно соотношению (2.60), полученному с помощью фаз. Теперь так же, как это уже делалось раньше, можно вычислить интегралы от формфакторов. Все константы известны, и мы получаем полную вероятность рассеяния в единицу времени.
Легко убедиться в том, что выражение в правой части (2.67) имеет размерность обратного времени. Следует заметить, что здесь по-прежнему фигурирует множитель, равный обратному полному числу атомов. Если взять большое число примесей, но так, чтобы расстояние между ними было достаточно велико, электроны будут рассеиваться каждой из них независимо и мы можем просто сложить вероятности перехода под влиянием каждого отдельного примесного атома. Учитывая фигурирующий в (2.67) множитель 1 IN, мы приходим, как и следовало ожидать, к вероятности рассеяния, пропорциональной атомной доли примесей.
При вычислении электрического сопротивления металлов нас интересует среднее от времени рассеяния с некоторым весом. Требуется найти скорость хаотизации импульса ftk. Таким образом, мы ищем скорость изменения среднего значения вектора к электрона, первоначально находившегося в состоянии | к):
