Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
2 Нm’mflnm = Е т
Здесь матрица гамильтониана
Нт'т = Е<$т'т Ч- (Ol | | т).
Ее диагонализация и дает энергетические уровни иона в кристалле.
Этот расчет можно улучшить, если включить в разложение (2.41) для ф„ большее число слагаемых. Можно, в частности, включить в него и орбитали соседних атомов. Это просто увеличит размер матрицы гамильтониана, причем недиагональные ее элементы окажутся в точности подобными интегралам перекрытия, фигурирующим в методе сильной связи:
OjnT(i\Ve(r) + Vj(r)\n),
192
Гл. II. Электронные состояния
где Vj — потенциал /-го соседа, a =J j ) — соответствующая атомная орбиталь, энергию которой мы обозначим через Ej. Если такого рода поправки малы, их можно учесть с помощью теории возмущений и не проводить диагонализацию полученной большей матрицы. Тогда примесное состояние будет описываться функцией
ф;,=Фп+2 e°*Ej Ъ, i
которая захватывает и соседние ионы. Эта поправка дает дополнительный сдвиг энергии Еп второго порядка по интегралам перекрытия.
Такое разложение годится только тогда, когда выполняется неравенство
Ojn ^ Еп — Ej,
определяющее возможность использования приближения, отвечающего учету одной орбитали. Если невозмущенный уровень примеси близок к энергетическим уровням изолятора в приближении сильной связи (степень близости определяется в энергетическом масштабе интегралов перекрытия),'то такое приближение перестает быть справедливым и мы возвращаемся к необходимости рассматривать большую матрицу. В частности, такая ситуация возникает, если примесный уровень лежит внутри разрешенной зоны изолятора, в котором рассматриваемая примесь находится. Тогда примесные состояния следует рассматривать как резонансные, что будет сделано в п. 5 настоящего параграфа.
2. Донорные и акцепторные уровни в полупроводниках
Сначала мы рассмотрим примеси в полупроводниках простейшего типа. Пусть, например, один из атомов кристалла германия замещен атомом мышьяка. В самом грубом приближении можно пренебречь разницей в потенциалах, создаваемых атомами мышьяка и германия. Тогда после такого замещения зонная структура останется неизменной. Мышьяк имеет на один электрон больше, чем германий, поэтому в кристалле появится лишний электрон, который с необходимостью попадет в зону проводимости. Потенциал мышьяка, однако, не совсем такой, как у германия; заряд ядра иона мышьяка на единицу больше, поэтому появится дополнительный положительный заряд, локализованный на ионе мышьяка. Это напоминает ту картину, которая была построена для экситонов в германии. И действительно, энергии связывания электрона на положительном заряде и в экситон оказываются в этих двух случаях в основном одинаковыми.
§ 8. Примесные состояния
193
Кроме того, внутренние оболочки мышьяка несколько отличаются от внутренних оболочек германия, поэтому слегка отличается и взаимодействие с ними электрона. В точном расчете энергии связи дополнительного электрона на атоме мышьяка должно учитываться и это малое отличие в потенциалах внутренних оболочек, однако главная разница связана с кулоновским потенциалом, возникающим вследствие дополнительного положительного заряда. Как и в случае экситона, выясняется, что энергия связи электрона составляет величину около 0,01 эВ.
И здесь эти состояния оказываются ионизованными при всех температурах, за исключением лишь самых низких, и наша исходная картина, в которой каждый атом мышьяка, внесенный в кристалл, поставляет в зону проводимости один электрон, очень близка к истине. По этой причине мышьяк или фактически атом любого элемента пятой группы периодической системы, замещающий основной атом полупроводника из четвертой группы, называется донором. Он дает электрон в зону проводимости. Ясно, что, легируя полупроводник донорами, мы добавляем к нему носители, что приводит к появлению электрической проводимости. Варьируя легирование, можно менять концентрацию носителей в зоне проводимости. Именно это обстоятельство и обеспечивает большую гибкость свойств полупроводников и возможность использования их для создания электронных приборов.
Подобные же рассуждения можно провести и в отношении атома галлия, замещающего атом германия. Заряд ядра галлия на единицу меньше, чем ядра германия, и в валентной зоне появляется одна дырка. Те же соображения показывают, что энергия связи дырки с галлием очень мала — всего несколько сотых электронвольт. При обычных температурах такое состояние связанной дырки будет полностью ионизованным. Поэтому элементы третьей группы называются акцепторами для полупроводников четвертой группы. Каждый атом галлия забирает один электрон из валентной зоны и приводит, таким образом, к появлению дырки. Легируя полупроводник акцепторами, мы вносим в него дырки, также обеспечивающие проводимость. Варьируя степень легирования, можно менять и концентрацию носителей.
Полупроводник, легированный донорами, называется полупроводником п-типа\ носители в нем заряжены отрицательно. Полупроводник, легированный акцепторами, называется полупроводником р-типа\ заряд носителей здесь положителен. Полупроводники с равным количеством доноров и акцепторов (или с пренебрежимо малым числом тех или других) содержат равные числа положительных и отрицательных носителей и называются собственными полупроводниками. Их свойства определяются самим основным материалом, а не примесями. Мы еще не раз будем возвращаться к свойствам двух различных типов полупроводников.
