Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
В последнее время возник интерес к возможности существования новой фазы в твердых телах, называемой экситонный изолятор [42]1). Представим себе полупроводник с малой запрещенной зоной.
*) См. также [71].— Прим. ред.
§ 7. Зонная структура изоляторов
187
Энергия, необходимая для создания экситона, равна разности энергии запрещенной зоны и энергии связи экситона. Если, однако, запрещенная зона достаточно мала, эта разность может оказаться отрицательной и система будет неустойчивой относительно образования экситонов. Такого рода неустойчивость очень похожа на неустойчивость относительно образования куперовских пар, которая будет рассмотрена в связи с возникновением сверхпроводящего состояния. Основное состояние системы можно построить подобно тому, как строится сверхпроводящее состояние. Это новое состояние — экситонный изолятор — опять-таки оказывается непроводящим. Однако оно под действием давления или изменения температуры может претерпевать фазовый переход в полупроводниковое или полуметаллическое состояние. Было рассмотрено несколько систем, которые могут быть экситонными изоляторами, однако ни для одной из них не было доказано, что она таковым является.
6. Функции Ваннье [43]
Хотя метод сильной связи обладает большой эвристической простотой, при попытках использовать его как количественный метод возникают серьезные трудности. Часть этих трудностей связана с тем, что волновые функции в приближении сильной связи (2.38) не ортогональны друг другу. Построив, например, два состояния с одинаковыми волновыми векторами, но базирующиеся на различных атомных состояниях, легко обнаружить, что вследствие перекрытия такие состояния не ортогональны. Этой трудности можно избежать, взяв нужную линейную комбинацию атомных орбиталей различных атомов, такую, чтобы обратились в нуль интегралы перекрытия. Существует систематический метод получения этого результата — метод функций Ваннье. Мы займемся здесь ими между прочим — нигде в дальнейшем изложении они использоваться не будут.
Эти функции получаются сначала, опять-таки исходя из точного решения задачи на собственные значения. Представим решение для л-й зоны в виде блоховской функции
ФЬП) (г) = и!п)(г)е‘*-'.
Заметим, что в этом случае функция ы*п) нормирована на полный объем, а не на объем кристаллической ячейки, как в § 6. Тогда функция Ваннье, связанная с /-м атомом и л-й зоной, строится в виде
188
Гл. //. Электронные состояния
ИЛИ
fl»(r)=^S^n)(r)elkr.
(2.40)
где суммирование проводится по всем к из зоны Бриллюэна. Во втором выражении мы перенесли начало координат на /-й атом, воспользовавшись тем, что функция uj,n) (г) переходит в саму себя при трансляции на период решетки. (В действительности функции Ваннье связаны с примитивной ячейкой, однако в простой структуре с одним атомом на ячейку они могут быть связаны с одним атомом.)
Можно, конечно, совершить и обратное преобразование, с тем чтобы собственные функции выразить через функции Ваннье:
Это выражение имеет форму волновой функции в приближении сильной связи, где а„(г — г>) играет роль атомной функции, однако в противоположность решению в приближении сильной связи такие решения точные и, следовательно, взаимно ортогональны. В том, что функции Ваннье, центрированные на различных узлах или возникающие из различных зон, взаимно ортогональны, можно убедиться непосредственно. В самом деле,
Функции Ваннье локализованы, но локализованы не столь сильно, как атомные функции. Мы можем попытаться составить себе некоторое представление об их локализации; для этого построим функции Ваннье, полагая в первом приближении блоховские функции не зависящими от волнового вектора. В выражении (2.40) нужно провести интегрирование по всем к в пределах зоны Бриллюэна. Если заменить ее сферой некоторого радиуса k0, так чтобы
Флп)(г) = у= 2 ап (т-rj) eih’Ti.
к, л»
то легко получить
u<"> (г) <PkeihT =
= 3/M«(")(r) (
COS V
(V)*" ...
§ 7. Зонная структура изоляторов
189
где г отсчитывается от того узла, на котором центрирована функция Ваннье. Таким образом, функция Ваннье при малых г пропорциональна и(П>(г), а при больших г уменьшается как —cos &ог/(&ог)г и модулирована при этом функцией и(П>(г).
Мы получили осциллирующую и распространяющуюся на большие расстояния волновую функцию. Основная причина этой столь большой протяженности, однако, связана с приближением, согласно которому мы пренебрегли изменениями uj,n> с к. В соответствии же с проведенным нами анализом группы трансляций два состояния, лежащие на противоположных гранях зоны Бриллюэна, которые отличаются друг от друга вектором обратной решетки, эквивалентны. Поэтому настоящая собственная функция ф* плавно переходит сама в себя, как только достигает противоположной грани зоны. Пренебрегая же изменением и1™ с к, мы ввели резкий скачок волновой функции на гранях зоны. И именно этот разрыв непрерывности и привел к возникновению распространяющихся на большие расстояния осцилляций. Аккуратно вычисленные функции Ваннье оказываются довольно хорошо локализованными в пределах одной кристаллической ячейки (Вайнрайх [43], показал, что они убывают быстрее любой степени 1/г), хотя, конечно, они и проникают в соседние ячейки, коль скоро имеется перекрытие соответствующих атомных функций.
