Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
13-0257
194
Гл. II. Электронные состояния
Такой подход, как и в случае экситонов, имеет смысл, только если электрон очень слабо связан с центром, и, следовательно, его орбита простирается на много постоянных решетки. Если мы заместим основной атом атомами элементов из второй или четвертой групп периодической таблицы и будем исходить из того же основного приближения, то обнаружим, что размер орбиты уменьшится вдвое. Возможность использования диэлектрической проницаемости
Фиг. 59. Условная диаграмма электронных состояний в полупроводнике.
Показано шесть донорных состояний, четыре из которых заняты, а два не заняты электронами. Два оставшихся электрона находятся в зоне проводимости.
становится сомнительной, и под угрозой оказывается весь способ описания.
Подчеркнем, что уровни энергии связанных электронов (донор-ные уровни) расположены ненамного ниже уровней свободных электронов в зоне проводимости. Это условно показано на схеме фиг. 59. Электронную энергию принято откладывать по оси ординат; по оси абсцисс откладывается пространственная координата. Зона проводимости представлена как заполняющая все пространство, а донорные уровни изображаются короткими черточками, лежащими чуть ниже зоны проводимости. Подобным же образом акцепторные уровни рисуют в виде коротких черточек, лежащих чуть выше валентной зоны. Такие диаграммы окажутся полезными при обсуждении полупроводниковых систем в § 3 гл. III.
Можно было бы подобным же образом представить и состояния, возникающие из-за других примесей. Соответствующие уровни могут лежать глубоко в запрещенной зоне, между валентной зоной и зоной проводимости, захватывать электроны, которые в их отсутствие были бы свободными, и тем самым исключать их из процесса
§ 8. Примесные состояния
195
проводимости. Такие центры называются ловушками. Для рассмотрения их свойств желательно исследовать связь этих локализованных состояний с энергетическими зонами. Этим мы сейчас и займемся.
3. Квантовая теория поверхностных и примесных состояний
Мы представляли примесные состояния в полупроводниках как электроны, движущиеся по боровским орбитам около примесного атома. Ясно, что соответствующие волновые функции экспоненциально спадают по мере удаления от примеси. Такие экспоненциально уменьшающиеся волновые функции, если соответствующие им энергии близки к минимумам зон, имеет смысл искать, используя к р метод, точно так же, как это мы делали при рассмотрении состояний, отвечающих малым волновым векторам. Сделаем это сначала для состояний, волновые функции которых экспоненциально убывают только в одном направлении. Будем рассматривать волновые функции, которые можно представить в виде блоховских функций, отвечающих полной периодичности решетки и модулированных экспонентой Анализ проводится точно так же, как и в обычном k-р методе. Теперь каждое к заменяется на ip. Это означает просто продолжение функции Е (к) в область комплексных к.
Функции тех состояний, которые мы хотим получить, убывают только в одном направлении. Они представляют собой решения уравнения Шредингера в чистом материале, не удовлетворяющие периодическим граничным условиям и не возникающие поэтому в расчетах зон. Они также не нормируемы на бесконечный объем, поскольку экспоненциально уменьшаются только в одном направлении. Тем не менее они могут быть правильными решениями для полубесконечной системы или, говоря более определенно, вблизи поверхности кристалла. Если потенциал на поверхности кристалла такой, что допускает это (должна существовать область, где кинетическая энергия положительна для того, чтобы связать волновые функции, спадающие внутрь кристалла и в свободное пространство вне его), то мы можем ожидать возникновения таких поверхностных состояний. Их часто называют таммовскими состояниями. Они возникают в металлах и изоляторах, равно как и в полупроводниках. Соответствующие им энергии, конечно, чувствительны к деталям потенциала на поверхности.
Отметим, что вычисления, основывающиеся на к -р методе, можно провести (опять-таки без всяких приближений, кроме разложения по к) для волновых векторов с одной мнимой и двумя действительными компонентами. Если возникают описанные выше поверхностные состояния, то наряду с ними появляются и состояния, которым отвечает экспоненциальное спадание волновой функ-
13*
196
Гл. II. Электронные состояния
ции внутрь кристалла, но свободное движение вдоль поверхности. Такие состояния могут переносить поверхностный ток, но они, конечно, не имеют компоненты тока, перпендикулярной поверхности кристалла.
Заметим, что обобщение к -р формулы на запрещенную зону эквивалентно аналитическому продолжению параболического закона дисперсии в пространство комплексных волновых векторов. Такое аналитическое продолжение остается справедливым, даже если мы не можем предположить, что энергетические зоны параболические: коль скоро мы заходим далеко в запрещенную зону, необходимо рассматривать слагаемые более высокого порядка в к*р разложении. Справедливость такого аналитического продолжения следует из справедливости самого k-р разложения.
