Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
с Л*№ h2 I ЯЯ + /Я/2 — 61 \2
2m 2т V R } ’
где волновые векторы получены из граничного условия. Различные состояния отвечают разным значениям целого положительного числа я. Наличие фазы слегка сдвигает энергию каждого состояния. Однако коль скоро фазы не превышают л, как это имеет место
для случая, представленного на фиг. 60, б, ни один из энергетиче-
ских уровней не сдвигается за пределы интервала, ограниченного соседними с ним невозмущенными значениями энергии. Например, я-е возмущенное состояние имеет энергию, лежащую между энергиями (я — 1)-го и (я + 1)-го невозмущенных состояний. Поскольку невозмущенные состояния большой системы расположены очень близко друг к другу (образуют квазиконтинуум), сдвиги энергии, естественно, очень малы.
Такой способ решения задачи представляет собой интересную иллюстрацию соотношения между истинным потенциалом и псевдопотенциалом. На фиг. 60 представлен результат, к которому приводит добавление в газ свободных электронов псевдопотеициала натрия, и изображена псевдоволновая функция, отвечающая собственному состоянию с энергией, близкой к энергии атомного &-уровня. Вследствие того, что псевдопотенциал мал, псевдоволновая функция претерпевает лишь слабую деформацию, а фаза оказывается меньше л. Это показано на фиг. 60, б. Можно вместо этого вернуться к уравнению Шредингера с истинным потенциалом атома натрия и отыскивать истинные собственные функции. Мы должны получить то же собственное значение энергии и волновую функцию, совпадающую с псевдоволновой функцией вне области, занимаемой внутренними оболочками, если эта псевдоволновая функция найдена, исходя из правильного псевдопотеициала. В области же внутренних оболочек из-за того, что потенциал атома натрия велик, волновая функция окажется сильно деформированной и будет походить на функцию атомного Ss-состояния. Результат таких вычислений иллюстрируется на фиг. 60, в. Если проследить за деформацией волновой функции при постепенном увеличении потенциала, то можно видеть, как фаза увеличивается и проходит через величину 2л, когда два узла волновой функции входят в область внутренних оболочек, достигая величины 2л плюс то значение, которое получается из вычислений, основывающихся на псевдопотенциале.
В этой связи ясно, что хороший выбор псевдопотеициала приводит просто к тому, что из величины фазы выбрасывается часть, равная л -я, где я — целое число. Остающаяся же при этом малая
§ 8. Примесные состояния
205
величина, которую можно найти по теории возмущений, отвечает правильному решению вне области внутренних оболочек. Коль скоро речь идет о простых металлах, нам нужно рассматривать только относительно малые фазы.
Основываясь на таком методе описания, можно изучать и вопрос о существовании связанных примесных состояний. Мы покажем это для s-состояний, для которых точные сферические функции Бесселя и Неймана при всех г совпадают с асимптотическими выражениями (2.47) и (2.48). Будем рассматривать невозмущенное состояние с наинизшей энергией, отвечающее п = 1. Если возникает малая положительная фаза, то волновой вектор, соответствующий этому состоянию, находится из уравнения
kR + 6„ = я.
С увеличением потенциала растет и 60, приближаясь к л. При этом величина волнового вектора k стремится к нулю. В этих пределах сдвиг энергии остается по-прежнему очень малым, как это было для состояний, рассмотренных выше. Однако если мы будем продолжать увеличивать потенциал и следить за изменением решения, отвечающего дну зоны, которому соответствует фаза, превосходящая я, то обнаружим, что природа этого состояния резко изменится. Оно превращается в экспоненциально убывающее локализованное состояние (чему соответствует мнимое волновое число). Это возможно только в случае притягивающего потенциала (для которого фаза, как можно убедиться, положительна). При этом характерном конечном значении величины потенциала возникает связанное состояние. С дальнейшим ростом величины потенциала энергия связанного состояния быстро падает и становится меньше минимума зоны. Важно подчеркнуть, что, когда потенциал оказывается достаточно сильным, чтобы образовать связанное состояние, поведение волновой функции испытывает качественное изменение. При этом теория возмущений в том виде, в котором мы использовали ее в методе псевдопотенциала, оказывается уже неприменимой. Метод же, основанный на анализе фаз, остается справедливым, и его можно использовать для уравнения как с потенциалом, так и с псевдопотенциалом.
Мы полагаем, что для простых металлов можно всегда построить такие псевдопотенциалы, которые приводят к фазам, меньшим л. Этому отвечает предположение о том, что в сплавах простых металлов не возникают примесные состояния. Мы не можем, конечно, отбросить возможность образования связанных состояний в полупроводниках, так как добавление к ним примесей отличающейся валентности неминуемо приведет к кулоновскому потенциалу. Столь дальнодействующий потенциал, существование которого в металлах невозможно вследствие экранирования подвижными электронами, в полупроводниках приведет к образованию связанных состояний.
