Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Представляет интерес рассмотреть промежуточную область в германии при достаточно низких температурах, когда все примесные состояния оказываются занятыми. Заметим, что состояния, отвечающие отдельным примесям, в высшей степени анизотропны, и поэтому перекрытие будет происходить в первую очередь в направлениях, перпендикулярных осям [111]. Если мы теперь подвергнем решетку сдвиговой деформации, то произойдет снятие начального вырождения состояний, связанных с различными долинами, и линейная комбинация, отвечающая основному состоянию, изменится. Снизив таким образом энергию состояний, связанных с долиной, расположенной в направлении [111], мы сможем образовать основное состояние, которое сформировано почти целиком из блинов, перпендикулярных именно этой оси. Проводимость же вдоль этого направления [111] существенным образом уменьшится, поскольку в этом направлении исчезнет перекрытие. Такие изменения прово-
§ 8. Примесные состояния
199
димости с деформацией кристалла носят название эффектов пьезопроводимости. Они могут быть очень большими и приводить к огромной анизотропии, степень которой может составлять величину порядка 107 при вполне достижимых напряжениях [44].
4. Анализ фаз
До сих пор, изучая примесные состояния, мы имели дело исключительно с такими состояниями, энергии которых лежат внутри запрещенной зоны чистого материала. Присутствующая примесь, однако, разрушает трансляционную инвариантность и приводит к изменениям всех состояний системы. Мы увидим, что в некоторых случаях потенциал примеси недостаточно глубок, чтобы отщепить один уровень от одной из зон чистого материала. Тем не менее можно, по крайней мере в принципе, построить волновую функцию, решив уравнение Шредингера внутри области действия потенциала примеси и сшив затем с этим решением решение для чистого материала вне пределов действия примесного потенциала. Удобнее всего делать это с помощью фаз.
Наибольший интерес представляет использование этого метода для металлов, и его особенно удобно сформулировать на языке приближения псевдопотеициала. К тому же результаты метода проливают новый свет на природу псевдопотеициала. Мы сосредоточим поэтому внимание на простых металлах и вернемся опять к уравнению с псевдопотенциалом, рассмотренному в § 5:
-gj-V^ + U^fq,. (2.42)
В нашем предыдущем обсуждении псевдопотеициала мы использовали упрощения, следующие из трансляционной периодичности решетки и периодических граничных условий и заключающиеся в том, что отвечающие нулевому приближению решения представляют собой бегущие плоские волны. При рассмотрении системы с примесью удобнее считать кристалл сферой, а в качестве граничного условия использовать обращение волновой функции в нуль на ее поверхности. Отдельную примесь мы помещаем в центр этой сферы.
В сферически симметричной системе мы можем, конечно, представить псевдоволновую функцию в виде произведения угловой и радиальной частей и, подставляя угловую часть в уравнение, получить квантовые числа / и т. Уравнение для радиальной части функции примет вид
—skir-sr'* 4-R‘+W‘ <r>+Sr JJ?!L =ER‘? <2-43>
Псевдопотенциал W мы снабдили индексом l по той причине, что он, содержа проекционный оператор, зависит от собственного зна-
200
Гл. II. Электронные состояния
чения углового момента /. С математической точки зрения удобнее от уравнения для Ri (г) перейти к уравнению для функции Pi(r), связанной с Ri (г) соотношением
Pi{r) = rRt(r) .
Подставляя это выражение в уравнение (2.43), получаем
~Н"з?- P' + WX') Р,=ЕР; (2.44)
где
W\(r)~rWl(r)±-
[Здесь опять возникает определенное усложнение, связанное с операторной природой W. Если бы W было простым потенциалом, то функция Wi (г) совпадала бы с Wi (r).l
Работать с функцией Pi, а не Ri, оказывается удобнее и при проведении качественных рассуждений. Поэтому на фигурах, иллюстрирующих наши рассуждения, представлена именно эта функция. Уравнение (2.44) есть просто одномерное псевдопотен-циальное уравнение с центробежным потенциалом, причем граничным условием служит обращение волновой функции в нуль при г = 0. В уравнении же (2.43) слагаемое, отвечающее кинетической энергии, имеет значительно более сложную структуру. Далее, вероятность того, что электрон находится в интервале dr, пропорциональна
R]r*dr = PUr,
следовательно, и в этом смысле функция Р* дает более непосредственную информацию о положении электрона. Однако решение принято выражать через Ri, поэтому, найдя решения для Р,, мы будем возвращаться к первой функции.
Можно сразу написать асимптотическую форму решения уравнения (2.44) при больших г и при условии, что псевдопотенциал локализован вблизи г = 0. Если радиус г достаточно велик, можно пренебречь центробежным слагаемым, и тогда общее решение записывается в виде
Pi (г) ~ A sin kr + В cos kr, (2.45)
где волновой вектор k связан с энергией соотношением
г. ft2*2 = ~2т~ ‘
В соответствии с этим
R, (г) да А + В .
(2.46)
§ 8. Примесные состояния
201
В частном случае, когда / — 0 и псевдопотенциал обращается в нуль, асимптотические выражения (2.45) и (2.46) становятся точными решениями уравнения (2.44). При этом, однако, второе слагаемое в (2.46) нерегулярно в точке г = 0 и правильным решением служит
