Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Каковы волновые функции таких связанных состояний, мы узнаем подробно при изучении примесей в полупроводниках. Однако уже теперь можно качественно установить форму экситонных функций. Из-за больших характерных размеров экситона можно пользоваться представлениями о волновых пакетах и ввести координату относительного движения г, определяющую расстояние между электроном и дыркой. Тогда связанному состоянию будет отвечать водородоподобная волновая функция Ф(г).Кроме того, если ввести координату центра масс R, то собственную функцию можно представить в форме
Yex = ?2-1/«Ф (г) eih'R.
х) См. также [69, 701.— Прим. ред.
§ 7. Зонная структура изоляторов
185
Эта собственная функция обладает трансляционной симметрией собственных состояний идеального кристалла. Состоянию с к = О отвечает покоящийся экситон; состояниям с к, не равным нулю, отвечает движущийся экситон; стационарное ls-состояние описывает экситон с наименьшей энергией.
Энергия связи экситона в (m*/m)x-2 раз меньше энергии связи атома водорода, что дает примерно 0,01 эВ. В типичных полупроводниках экситоны в принципе существуют, однако они полностью ионизованы при всех температурах, за исключением лишь очень низких. По этой причине они практически совершенно несущественны в полупроводниках, и данное нами ранее зонное описание электронных состояний оказывается вполне достаточным1).
В типичных изоляторах, с другой стороны, массы больше, а диэлектрические постоянные, как правило, близки к 5. Таким образом, вычисленный так же, как и раньше, радиус основного состояния оказывается порядка межатомного расстояния и поэтому использование диэлектрической постоянной становится необоснованным. Для изучения экситона мы должны использовать совершенно иное приближение. Это иное приближение имеет близкое отношение к картине сильной связи, и такое сильно связанное состояние носит название экситона Френкеля.
Рассмотрим простейший случай — кристалл инертного газа. Заполненные состояния атома инертного газа п^и образовании кристалла не претерпевают серьезных искажений. В этом случае, как мы уже показывали выше, связь кристалла обусловлена не перекрытием, а простым взаимодействием Ван-дер-Ваальса. (Между прочим, само это взаимодействие представляет собой эффект сугубо многоэлектронный и потому приближением самосогласованного поля не описываемый.) Следовательно, основное состояние кристалла инертного газа можно представлять себе как заполнение индивидуальными электронами атомных орбиталей индивидуальных атомов инертного газа. Возбужденному состоянию системы отвечает переход электрона в возбужденное состояние отдельного атома, например переход на 35-орбиталь атома неона. Такое возбуждение нельзя описывать с помощью одноэлектронной волновой функции, так как важно учесть, что в возбужденном атоме электрон в 2р-состоянии отсутствует. Для простоты мы представили многоэлектронную волновую функцию в виде произведения волновых функций, хотя для получения должным образом антисимметризо-ванной линейной комбинации таких произведений потребовалось бы очень небольшое обобщение. Состояние, отвечающее одному электрону, возбужденному на /-м атоме неона, можно представить
*) При этом, конечно, речь идет не об оптических свойствах (см. ниже).— Прим. ред.
186
Гл. II. Электронные состояния
в виде
Т = 1Г П Ь,
ш
где V;*’ — десятиэлектронная волновая функция возбужденной конфигурации атома неона, находящегося в /-м узле, а ф4 — десятиэлектронная волновая функция невозбужденного атома неона в t-м узле. Это состояние не удовлетворяет требованиям трансляционной симметрии. Можно, однако, получить собственные состояния оператора трансляций, беря в качестве экситонной волновой функции линейную комбинацию этих возбужденных состояний, подобную той, которая используется в приближении сильной связи:
j
Как и в случае экситона в полупроводнике, это состояние может описывать распространяющееся возбуждение, и его энергия, хотя и слабо, будет зависеть от волнового вектора.
Отметим, что мы имеем дело с линейной комбинацией атомных волновых функций, которые для каждого атома суть волновые функции всех электронов данного атома. В противоположность этому в методе сильной связи мы строим линейные комбинации одноэлектронных волновых функций. Поэтому если мы конструируем волновой пакет из волновых функций в приближении сильной связи, это означает, что мы локализуем плотность заряда в области, занятой пакетом. Еслиже, сдругой стороны, мы образуем линейную комбинацию экситонных волновых функций, то в области пакета мы локализуем не заряд, а энергию. Экситон, таким образом, не может сам по себе переносить заряд, он может переносить по кристаллу энергию, в то время как одноэлектронные состояния в приближении сильной связи могут переносить как заряд, так и энергию. Экситоны изоляторов вносят вклад в теплопроводность, но не приводят к электропроводности.
По аналогии с результатом приближения сильной связи энергия экситона равна, грубо говоря, энергии атомного возбуждения. Энергия же свободного электрона в зоне проводимости порядка энергии ионизации атома. Если учесть вандерваальсовское диполь-дипольное взаимодействие между атомами, мы получим закон дисперсии экситонов в кристаллах инертных газов, аналогично тому, как это делается в приближении сильной связи. Экситоны в ионных кристаллах сродни экситонам в кристаллах инертных газов в большей степени, чем экситонам в полупроводниках, хотя их теория и не столь проста.
