Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Мы видели, что путем аналитического продолжения можно рассматривать наряду с состояниями, лежащими вблизи края зоны, и состояния, лежащие глубоко в запрещенной зоне. Функции поверхностных состояний, лежащих вблизи края разрешенной зоны, спадают по мере удаления от поверхности очень медленно. При углублении в запрещенную зону скорость спадания становится все больше и больше, а состояние соответственно все более и более локализованным. По мере дальнейшего понижения энергии при приближении к краю валентной зоны это спадание опять становится более плавным и в большей мере соответствует состояниям валентной зоны. При заданной форме энергетических зон мы можем покрыть всю область энергий запрещенной зоны. Для простейшего случая, когда Е = ± V А* + «#*, это показано в задаче 22 гл. И.
Продолжение в плоскость комплексных волновых чисел имеет очень тесное отношение к обсуждавшемуся в п. 1 § 6 приближению эффективной массы. Для идеального кристалла эффективный гамильтониан мы писали в виде
Н=-1Г V (-?r)v+E*W+yW-
При постоянной энергии Е0, равном нулю V (г) и положительной кинетической энергии гамильтониан имеет в качестве собственных функций плоские волны, а в качестве собственных значений энергии — истинный зонный закон дисперсии. Он приводит также и к затухающим в глубь кристалла поверхностным состояниям, которые мы обсуждали выше. Он может, наконец, дать и более общие решения с отрицательной энергией, спадающие, например, во всех направлениях.
Можно было бы представить себе нахождение решения, отвечающего примесному состоянию, как сшивку должным образом спадающей волновой функции с решением, справедливым в непосредственной окрестности примеси. Такой метод, однако, в большинстве слу-
§ 8. Примесные состояния
197
чаев не может служить хорошим приближением. Вместо этого для приближенного нахождения примесных состояний к гамильтониану в качестве потенциала V (г) добавляют разницу между потенциалом примесного атома и основного атома решетки. Если использовать такой эффективный гамильтониан, то потенциал V (г) должен быть чем-то близким к разнице не настоящих потенциалов, а псевдопотенциалов. Например, если атом примеси отвечает более низкому периоду периодической таблицы по сравнению с атомом основного материала, то разница истинных потенциалов должна быть столь большой, что соответствующая примеси волновая функция будет иметь один или несколько дополнительных узлов. Рассматривать их на основе приближения эффективной массы невозможно. Получаемые в этом приближении функции представляют собой лишь огибающие истинных функций точно так же, как псевдоволновая функция есть только огибающая истинной волновой функции.
Представляет интерес использовать это приближение, например, для получения донорных состояний в германии или кремнии, считая дополнительный потенциал примеси просто кулоновским потенциалом. При изотропной эффективной массе кулоновский потенциал приводит к обычным водородоподобным псевдоволно-вым функциям. Наинизшему по энергии донорному состоянию отвечает функция е~*г. (Для получения приближенной истинной волновой функции вне пределов ячейки с примесью мы должны умножить эту огибающую функцию на волновую функцию зоны проводимости, отвечающую дну зоны.) Для анизотропных масс можно получить приближенные собственные состояния, выбирая решение в виде
где ось г выбрана в направлении продольной оси эллипсоида, соответствующего минимуму зоны1). Отметим, что это выражение, несомненно, приближенное. Даже в случае изотропной зоны оно не приводит к правильному решению е~*Т. Кроме того, оно содержит нефизический разрыв по всей плоскости г = 0. Оно, однако, может иметь смысл при вариационном расчете, в котором щ и ц2 — вариационные параметры. Для германия расчет приводит к блинообразной псевдоволновой функции с отношением осей 3:1. Псевдоволновая функция имеет большую протяженность в тех направлениях, в которых масса мала.
В зоне проводимости германия имеется четыре минимума и, следовательно, четыре вырожденных эквивалентных примесных состояния, связанных с четырьмя долинами. При более точном расчете выясняется, что вырождение снимется, если учесть поправки к при-
*) Данное приближение было предложено Фрицше [44].
198
Гл. II. Электронные состояния
ближению эффективной массы. Из соображений симметрии следует, что происходит расщепление на синглетное симметричное невырожденное состояние и трехкратно вырожденное состояние p-типа. Оказывается, что основным является симметричное состояние, имеющее вид
Ф = Т (Фи 1 + Фш + Ф1 и +‘Pi и )•
где индексы обозначают направление, в котором лежит минимум зоны, отвечающий данному отдельному состоянию. Получающаяся в результате волновая функция представляет собой суперпозицию четырех блинов, ориентированных перпендикулярно четырем направлениям типа [111].
До сих пор наше рассмотрение примесных состояний касалось лишь одной изолированной примеси. Если концентрация примесей мала настолько, что псевдоволновые функции примесных состояний не перекрываются, такое описание оправдано. Если же, однако, возникает перекрытие, то вырожденные примесные состояния расширяются в зоны. В случае низкой концентрации речь идет о сильно удаленных друг от друга атомоподобных состояниях, которые с полным основанием можно рассматривать в приближении сильной связи. Можно полагать, что при низких концентрациях мы находимся с той стороны от точки моттовского перехода, которая отвечает низкой плотности, и система не обладает проводимостью. Любой поток, переносимый по таким примесным состояниям, должен носить перескоковый характер. Можно ожидать, что при более высоких концентрациях система окажется уже по другую сторону от моттовского перехода, т. е. в области высокой плотности, и будет обладать обычной проводимостью по примесной зоне. При еще больших концентрациях примесная зона перекроется с соседней зоной проводимости и обе они сольются в одну зону.
