Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь слагаемые с I = i:
JL 2 eik-(rrrO $1|*(г-Г|)о(г-Г,)1Мг-г,)Л.
гф).3
Опять-таки эта величина не зависит от /, и мы можем заменить деленную на N сумму по / одним слагаемым, выбрав один из векто-
§ 7. Зонная структура изоляторов
175
ров Tj в качестве начала координат:
2 e~lk ri [ (г —г*)о(г—ri)$i(r)dT. г,* о
Это и есть как раз то зависящее от к слагаемое, которое дает интересующую нас зонную структуру. В приближении сильной связи часто предполагают, что основной вклад дают слагаемые, отвечающие ближайшим соседям, и только они принимаются во внимание.
Рассмотрим теперь простейший случай, когда энергетическая зона возникает из атомного s-состояния. Мы еще больше упростим задачу, предположив, что атомы образуют простую кубическую структуру. Обратимся к рассмотрению зависящего от к слагаемого в энергии, возникающего из-за перекрытия волновых функций, ближайших соседей. Интеграл, фигурирующий в каждом слагаемом, есть
Я- = j Ф? (г—г*) о (г — г/) ф( (г) di,
и для s-состояний он совпадает для всех соседей. Зная атомные волновые функции, потенциал и расстояние между ближайшими соседями, можно найти величину X. Тогда зависящая от k поправка примет вид (суммирование проводится по ближайшим соседям)
X 2 е~ '*#Г| = 2Х (cos kxd + cos ky а + cos kta).
Отметим, что учет вклада более далеких соседей приведет к дополнительным поправкам к энергии, также имеющим вид сумм косинусов. Основной вклад в интеграл дает обычно область, лежащая за последней пучностью обеих атомных волновых функций. Поэтому в силу того, что потенциал отвечает притяжению, параметр X, как правило, отрицателен. На фиг. 55 представлено изменение энергии вдоль трех симметричных направлений зоны Бриллюэна простой кубической решетки. В качестве начала отсчета энергии взято собственное значение энергии отдельного атома, сдвинутое на не зависящую от волнового вектора поправку, связанную с перекрытием.
Можно убедиться в том, что энергия растет квадратично по мере отклонения волнового вектора от центра зоны, как это предсказывает к -р метод. Здесь тензор эффективной массы оказывается изотропным. Мы можем написать
*_*х(»-?+-)-»+Э+--
где
т* I й»(1/а)2
т к 2т
176
Гл. II. Электронные состояния
При очень малом перекрытии волновых функций параметр X мал, а эффективная масса велика. Этот результат вполне понятен физически. Если перекрытие волновых функций очень мало, то электрон мало подвижен. Если же перекрытие велико, масса становится малой, а электрон — очень подвижным. В то же время, если мы приближаемся к условиям, когда электрон очень подвижен, оказывается неприменимым приближение сильной связи. В простых металлах поэтому, где, как мы знаем, электроны ведут себя как свободные, разложение для волновых функций в приближении
Фиг. 55. Зона s-типа в простой кубической решетке, вычисленная в приближении сильной связи с учетом Перекрытия волновых функций только
ближайших соседей.
Горизонтальная линия есть центр тяжести зоны. Если на каждый а тон приходится по одному электрону, то она совпадает с энергией Ферми.
сильной связи оказывается плохим. В ионных кристаллах, с другой стороны, перекрытие атомных волновых функций очень мало и атомные орбитали служат хорошим исходным приближением.
В рамках приближения сильной связи мы можем получить тензор эффективной массы, так же как и с помощью k-р метода. Кроме того, мы получаем слагаемые высших порядков по k. Два эти приближения, однако, дают две совершенно разные, хотя и дополняющие друг друга картины происхождения эффективных масс, k-р метод связывает эффективные массы с запрещенными зонами и делает понятным возникновение малых масс. Метод сильной связи связывает эффективные массы с перекрытием атомов и делает понятным возникновение очень больших масс.
§ 7. Зонная структура изоляторов
177
2. Зонная структура и связь в ионных кристаллах
Рассмотрим, например, электронные состояния в хлористом натрии. Представим себе сначала атомы натрия и хлора, расположенные в той же структуре, что и в хлористом натрии, но с очень большими межатомными расстояниями (фиг. 56). В основном состоянии как атом натрия, так и атом хлора нейтральны; удаление одного электрона из натрия и перенос его для создания иона хлора
Na
Ct
Na
Cl
Фиг. 56. Атомы натрия и хлора в структуре хлористого натрия, разнесенные, однако, на большие расстояния.
Если межатомные расстояния достаточно велики, то для переноса электрона с атома натрия на атом хлора требуется затратить энергию. Если же расстояния достаточно малы, то при переносе возникает выигрыш в энергии.
С1
Na
Na
Cl
Cl
Na+
Na
Cl
Cl Na Cl Na
к атому хлора в направлении, обратном направлению электрического поля ядра натрия, требуют заметной энергии. С другой стороны, с уменьшением расстояния между атомами необходимая для этого энергия становится меньше, потому что просто уменьшается то расстояние, на которое нужно перенести электрон. К тому же, ионизуя все атомы натрия, мы в то же время несколько выигрываем в энергии, так как переносим электрон в узел решетки с хлором, окруженный теперь со всех сторон положительными ионами натрия. Таким образом, даже до того, как начинается перекрытие волновых функций и формирование зонного спектра, более стабильной оказывается электронная конфигурация, отвечающая ионам хлора и натрия. Это схематически иллюстрируется на фиг. 57, на которой представлена зависимость сдвига энергетических уровней электронов от межатомного расстояния а.
