Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
получаем поправку первого порядка. Из этого вытекает, что в подобных случаях экстремум энергии может сдвигаться из точки к = 0. Подобный сдвиг максимума энергии валентной зоны антимонида индия показан на фиг. 51.
При любой зонной структуре мы можем найти экстремум энергии и производить разложение по отклонениям от соответствующего волнового вектора. Тогда поправка первого порядка обращается в нуль по определению. Здесь же мы ограничимся случаем экстремума в точке к = 0, т. е. случаем, которому отвечает отсутствие поправки первого порядка.
Во втором порядке теории возмущения для энергии получаем следующее выражение:
?hn) = ?&п) ?
HW . tfi v |k-<4m)lPl«on)>l2
2m
тг
4n)-4m>
(2.33)
Можно было бы,конечно, найти энергию в любом нужном нам порядке, но этого выражения уже вполне достаточно для того, чтобы определить кривизну вблизи экстремума зоны.
Видно, что для нахождения энергии небходимо провести суммирование по всем зонам при к = 0. Однако рост энергетических знаменателей уменьшает роль высоколежащих зон, и часто оказывается, что существенно всего лишь несколько наиболее близких зон. К тому же часто можно значительно уменьшить число слагаемых, приняв во внимание симметрию состояний, отвечающих отдельным зонам. Учитывая, по какому из неприводимых представлений преобразуется каждое из состояний, равно как и опера-
§ 6. Зонная структура полупроводников и полуметаллов 161
тор импульса, можно получить произведение представлений, откуда мы сможем определить, какие из матричных элементов обращаются в нуль вследствие симметрии. Этот метод представляет собой одно из приложений теории групп, не обсуждавшееся в гл. I, но описание которого можно найти в любом обычном учебнике теории групп. В качестве конкретного примера укажем на то, что из-за нечетности оператора импульса он не может связывать два четных состояния 1).
Видно, что наибольший вклад в энергию дают те связанные друг с другом зоны, которые не слишком сильно отличаются друг от друга по энергиям. Можно ввести эффективную массу, представив энергию (2.33) в виде
ft=?,+-?rk-(?)-k, Р.34)
причем элементы тензора эффективной массы задаются выражением
<») * , 2 ^ <«4n) I pi 14°> I Pi I иоп)>
= 6"+m2j------------?jn)_?(0--------* (2.35)
т
т*
Это выражение известно под названием правила f-сумм. Оно важно при рассмотрении оптических свойств, так как мы убедимся в том, что силы осциллятора, отвечающие межзонным переходам, определяются с теми же матричными элементами р.
Отметим, что если две зоны связываются оператором импульса, то матричный элемент <«bw I Pi I есть величина порядка %/а, где а — межатомное расстояние. Следовательно,
т . , 2й*
-=5-» 1 +
m* ^ ma*SE *
причем ftVma1 порядка 10 эВ. Если Д? « 0,2 эВ, то мы получаем эффективную массу порядка 0,01 массы свободного электрона. Таким образом, не следует удивляться тому, что в полупроводниках электроны во многих случаях ведут себя подобно свободным частицам с массой, много меньшей истинной массы электрона.
Этот результат применим, конечно, и к простым металлам. Можно рассматривать, например, минимум зоны проводимости лития при к = 0. Единственная зона, лежащая ниже,— это ls-зона внутренней оболочки, которая не связана с первым матричным элементом от р. Таким образом, все зоны, с которыми связывается зона проводимости, лежат выше ее минимума. Отсюда вытекает, что 1/т* меньше 1/т, т. е. т* больше т. При переходе к более тяжелым щелочным металлам все с большим и большим числом зон, лежащих
*) Равно, впрочем, как и два нечетных. Точнее, оператор импульса не может связывать два состояния одинаковой четности.— Прим. ред.
11-0257
162
Гл- И. Электронные состояния
ниже зоны проводимости, последние начинают доминировать. В таких металлах поэтому эффективные массы меньше истинной массы электрона.
Для любой зонной структуры можно провести вычисление эффективных масс, если мы только знаем или приближенно вычислим волновые функции других зон. Часто можно даже просто оценить величину эффективной массы, зная лишь порядок величины матричных элементов и воспользовавшись экспериментально измеренными значениями запрещенной зоны.
Мы получили метод определения состояний вблизи края зоны, очень похожий на метод псевдопотеициала в теории простых металлов. Метод эффективной массы намного старше метода псевдопотенциала. Ограничиваясь рассмотрением состояний вблизи к = О, мы нашли зависимость энергии от к в виде (2.34). Это выражение можно использовать для построения эффективного гамильтониана Я (Дк), приводящего к уравнению, подобному уравнению Шредингера:
Vi & I т \ д , с •* Зф ~2т 2 dxi \ т* )»j dxj *Р~Г 0<Р—1 ~дГ’
а
Так же как и уравнение с псевдопотенциалом, это уравнение, будучи точно решенным, дает правильные (при малых k) собственные значения энергии. Подобно уравнению с псевдопотенциалом, оно приводит к довольно плавной псевдоволновой функции <р. Когда решение имеет вид плоской волны, истинная волновая функция получается путем умножения <р на функцию Блоха ы{,п> (или на ее разложение, включающее первый порядок по к), в то время как в методе псевдопотеициала проводится ее ортогонализация к волновым функциям сердцевины. Если <р нормирована на объем кристалла, «*”’ должна быть нормирована на объем элементарной ячейки Q0:
