Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
где р = У2 Ц^/2)2 + и* + к* + *1 1. Собственные значения этой матрицы можно определить из секулярного уравнения
до=(к — q|o>|k).
т
w
-J(k-q)*
Это решение легко найти:
E=VL±\/r +
152
Гл. //. Электронные состояния
где мы записали ww + как до2 и не обозначили явно зависимость от к. Мы могли бы теперь непосредственно вычислить Е как функцию х и изобразить ее графически для небольших и отрицательных xz (чтобы вектор к находился вблизи грани зоны Бриллюэна и внутри ее). Как видно из фиг. 47, в зоне Бриллюэна имеются два решения, соответствующие двум энергетическим зонам. Значительно нагляднее, однако, зафиксировать энергию и выразить длину поперечного волнового вектор аУ х* + х* через х2. Эго непосредственно дает
Фиг. 46. Система координат, ис- Фиг. 47. Энергетические зоны вблизи
пользуемая при расчете в двухвол- грани зоны Бриллюэна, рассчитаниы
новом OPW приближении для состо- в двухволиовом OPW приближении
ЯИИЙ С kx « q/2. Матричный элемент <k— q \ш | к> счнталс
х — волновой вектор, измеряемый от не зависящим от к.
центра плоскости с координатой q/2.
Волновой вектор второй OPW лежит на окружности, изображенной пунктиром.
нам сечение поверхности постоянной энергии. Если мы снова будем рассматривать только отрицательные значения xz, мы получим два сечения ферми-поверхности в зоне Бриллюэна. Быть может, удобнее все-таки изобразить одну из этих поверхностей для положительного значения xz, а другую — для отрицательного. Тогда обе поверхности будут приближаться к сфере свободных электронов, когда w стремится к нулю. Это, очевидно, схема расширенных зон. Выражая длину поперечного волнового вектора через энергию и xz, получаем
Ух*+х?= ]/ 2Е— (j)*—х|туг(ф<1)*4-4ш2- (2-31)
Поверхности, описываемые выражением (2.31), показаны на фиг. 48 для трех разных значений энергии. Если бы мы положили энер-
§ 5. Простые металлы и теория псевдопотенциалов_________________153
гию равной энергии Ферми, то подобная фигура демонстрировала бы нам искажение ферми-поверхности вблизи брэгговской плоскости отражения.
В реальном кристалле будет существовать, конечно, несколько брэгговских плоскостей отражения. В некоторых случаях можно рассматривать каждую из них независимо, как мы это только что делали. Когда же две плоскости пересекают ферми-поверхность близко друг от друга, необходимо рассматривать уже матрицу
а 6 в
Ф в г. 48. Рассчитанные изоэнергетические поверхности в двухволновом
OPW приближении.
Случаи а — в отвечают соответственно энергии, равной произведению 0.8, 1.0 н 1,2 на Л a (о/2)*/2т. Матричный элемент w для всех трех случаев принимался равным
0.1 ft* (?/2)*/2т.
гамильтониана 3x3. Построенная подобным способом ферми-поверхность алюминия показана на фиг. 49.
Такие фигуры, разумеется, очень близки к тем, которые мы получили бы, если бы выполнили полный расчет энергетической зонной структуры. Учет указанных искажений ферми-поверхности — одномерных и двумерных — должен быть нашим следующим шагом, если мы хотим сравнивать рассчитанную ферми-поверхность с экспериментально наблюдаемой. Из этого сравнения мы смогли бы также выяснить, насколько справедливы наши представления о величине псевдопотенциала. Конечно, если мы хотим детально изучать ферми-поверхность, лучше опять вернуться к схеме приведенных зон. На фиг. 50 для иллюстрации сравниваются изоэнергетические поверхности в А1, рассчитанные в трех- и одноволновом OPW приближениях.
Показанные сечения ферми-поверхности во второй и третьей энергетических зонах можно легко опознать и на фиг. 39, где изображены ферми-поверхности трехвалентного металла с гранецентрированной кубической структурой. На фиг. 39 видны также крошечные сегменты в четвертой зоне. Если учесть истинный псевдопотенциал, то оказывается, что четвертая зона целиком лежит выше энергии Ферми, поэтому сегменты отсутствуют; если же включать псевдопотенциал медленно, то сегменты начинают сжиматься
154
Гл. II. Электронные состояния
вокруг точки W и в конце концов исчезают. Четвертая энергетическая зона расположена выше энергии Ферми —это видно также и из зонной структуры алюминия, показанной на фиг. 28. Исчезновение небольших сегментов на ферми-поверхностях, обязанных своим появлением одноволновому приближению, происходит в металлах довольно часто. Оказывается, например, что даже значительно
Фиг. 49. Сечение плоскостью (110) ферми-поверхности алюминия в схеме
расширенных зон.
Пунктирные лнннн изображают брэгговские плоскости отражения. Расчет проводился в трехволновом OPW приближении.
больший сегмент, который присутствует в четвертой зоне четырехвалентного металла с гранецентрированной кубической структурой (фиг. 39), в свинце исчезает. Аналогично контакт с гранью зоны Бриллюэна двухволновой OPW поверхности, показанный на фиг. 45, приводит к уменьшению полной площади поверхности Ферми. В предельном случае, когда все ферми-поверхности исчезают, сливаясь с гранями зоны Бриллюэна, мы имеем полупроводник. Металлические свойства связаны с существованием ферми-поверхности; следовательно, полупроводники можно рассматривать как простые металлы, у которых все ферми-поверхности исчезли.
