Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Тем не менее метод эффективной массы, сформулированный в форме уравнения (2.37), есть наилучший способ исследования многих
§ 6. Зонная структура полупроводников и полуметаллов 165
свойств полупроводников и именно на его основе мы будем строить наше изучение полупроводников.
В следующем разделе мы обсудим динамику электрона в полупроводниках. Для решения этой задачи мы рассмотрим идеальный кристалл и будем конструировать волновые пакеты. Это вернет нас к квазиклассической теории и не потребует уравнения (2.37) во всей его общности.
Как мы уже отмечали, в чистом полупроводнике имеется электронов ровно столько, сколько нужно, чтобы заполнить валентную зону, а для того, чтобы заполнить состояние зоны проводимости, их уже не остается. Однако при конечной температуре (или, как мы увидим позже, в присутствии примесей) некоторые из состояний в зоне проводимости оказываются занятыми, а в валентной зоне — пустыми. Возбуждения первого типа называют электронами, а второго — дырками. Переход одного электрона через запрещенную зону приводит к появлению одного электрона и одной дырки. Сейчас мы займемся изучением динамики этих возбуждений.
Рассмотрим сначала электрон в зоне проводимости. Нас будут интересовать низкоэнергетические возбуждения, находящиеся вблизи минимума зоны. Здесь мы можем воспользоваться к -р методом и разложить энергию в ряд по к. Обозначим волновой вектор, отсчитанный от точки, отвечающей минимуму, через х. В общем случае результат можно представить в виде квадратичной по волновому вектору форме, задаваемой соотношениями (2.34) и (2.35). Однако специальным выбором трех ортогональных осей эту форму можно диагонализовать:
В большинстве полупроводников по крайней мере две из трех эффективных масс совпадают и энергию можно обычно записать в виде
где mt и mi называют поперечной и продольной эффективными массами, х{ — компонента х вдоль оси симметрии, a xt означает поперечную компоненту.
Для любого закона дисперсии справедливы уравнения
2. Динамика электронов и дырок в полупроводниках
*-*+?2(?)
i
Z? Е" 1 2 I Л® 2
?fc = ?o+2^7Xt+2^7*'’
166
Гл. II. Электронные состояния
Таким образом, мы можем определить импульс электрона р = Пи,
подчиняющийся уравнению Ньютона р = F, а связь скорости с импульсом задается выражением
где мы ввели тензор эффективной массы (2.35). Динамическое поведение электронов такое же, как и свободной частицы с анизотропной массой. Отметим, что в общем случае направление скорости не совпадает с направлением импульса.
В зоне проводимости кремния имеется 6 минимумов с совпадающей энергией, расположенных на 6 различных осях [100], как это
Фиг. 52. Расположение минимумов зоны проводимости кремния и германия в зоне Бриллюэна.
Эллипсоиды представляют собой изоэнергетические поверхности в зоне проводимости.
Зона Бриллюэна показана в направлении [110].
показано на фиг. 52. Эффективные массы следующие: mt = 0,19 т и mi = 0,98 т. Для многих целей бывает достаточно заменить эти шесть групп носителей с анизотропными эффективными массами одной группой с должным образом выбранной средней изотропной эффективной массой. В зоне проводимости германия минимумы расположены в точках пересечения осей [111] с гранями зоны, т. е. в точке L. Это также показано на фиг. 52. Состояния на любых двух противоположных гранях зоны Бриллюэна можно объединить так, чтобы образовать одну долину. Таким путем мы получаем четыре долины с тензором эффективной массы, задаваемым массами mt = 0,082m и mi = 1,64 m. Как в кремнии, так и в германии электроны дают больший вклад в ток, чем дырки, и поэтому играют главную роль в тех случаях, когда число носителей обоих типов совпадает.
§ 6. Зонная структура полупроводников и полуметаллов 167
Понять динамическое поведение дырок в полупроводниках сложнее. Хорошо известно, и это ясно интуитивно, что незанятые состояния валентной зоны ведут себя подобно положительно заряженным частицам. Однако не вполне очевидно, что они должны вести себя подобно положительным частицам с положительной массой. Поэтому мы рассмотрим такие системы более внимательно.
Валентная зона как германия, так и кремния имеет максимум в точке к = 0 и вырождена. В приводимом ниже анализе мы пренебрегаем этим вырождением и рассматриваем поведение дырок в каждой зоне отдельно. Удалим один электрон из такого состояния
а 6
Ф и г. 53. а — верх валентной зоны с одним незанятым состоянием, обозна* ченным квадратиком; б — та же зона и то же состояние, представленные с помощью измененных энергии и волнового вектора.
Последнее представление удобно для описания динамики дырок.
валентной зоны, волновой вектор которого к лежит вблизи максимума (фиг. 53, а). Рассмотрим теперь поведение всей системы, обозначив опять через е абсолютную величину заряда электрона.
Ток системы, равный нулю до удаления электрона, после его удаления оказывается равным
так как ток, отвечающий рассматриваемому состоянию, если бы оно было занято, равнялся бы (—е) (1 lb)VhEk.
Если поместить эту систему во внешние поля, то все электроны двигались бы в пространстве волновых векторов в соответствии с приведенным ранее уравнением:
