Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Все это не означает, что псевдопотенциалы неприменимы при рассмотрении полупроводников — фактически метод псевдопотенциала был развит Филлипсом и Клейнменом [36] именно в применении к полупроводникам. Оказалось, что псевдопотенциальные форм-
х) В отечественной литературе термин сэнергетическая щель» (energy gap) при рассмотрении полупроводников часто заменяется термином сзапре-щениая зона». При переводе мы используем оба термина.— Прим. ред.
*) На 1 см*.— Прим. ред.
158
Гл. //. Электронные состояния
факторы, возникающие при рассмотрении полупроводников, немногим больше формфакторов для простых металлов. Все трудности появляются из-за того, что необходимо учитывать много зон. В структуре алмаза, например, на одну примитивную ячейку приходится 2 атома, а на каждый атом — 4 электрона. Таким образом, на ячейку приходится 8 электронов — число, достаточное, чтобы заполнить 4 зоны. Конструирование ферми-поверхности свободных электронов привело бы к появлению большого количества очень мелких кусочков, которые, если мы для описания используем псевдопотенциал, исчезнут в плоскостях брэгговских отражений точно так же, как исчезли самые тонкие сегменты ферми-поверхности алюминия при включении конечного псевдопотеициала. Для больших волновых векторов, из которых образована ферми-поверхность 8 электронов, нет ни одного состояния, которое можно было бы адекватно описать без учета в разложении псевдоволновой функции нескольких плоских волн. Таким образом, мы возвращаемся к задаче о решении секулярного уравнения довольно высокого порядка. Тем не менее оказывается возможным в этой большой матрице гамильтониана выделить те наиболее важные матричные элементы, которые необходимы, чтобы понять самые существенные черты зонной структуры. Это важно для понимания оптических свойств полупроводников и природы их тетраэдрической (или ковалентной) связи. Мы вернемся к этому вопросу в п. 3 § 6 гл. IV, где будут обсуждаться атомные свойства.
К счастью, в теории полупроводников, как правило, не возникает необходимости рассматривать все эти сложные зоны. Так же как и в металлах, здесь электронные свойства будут определяться теми состояниями, которые лежат вблизи энергии Ферми. В металлах это состояния на ферми-поверхности, в полупроводникахэто высшие состояния валентных зон и низшие состояния зоны проводимости.
Нас в действительности будут интересовать те состояния, которые лежат в пределах энергий порядка КТ, отсчитанных от краев зон. Опять-таки, поскольку КТ составляет всего лишь V4o эВ, а ширина запрещенной зоны порядка 1 эВ, достаточно рассмотреть экстремальные состояния каждой зоны и вычислить малые поправки к энергии, появляющиеся при отклонении от этих состояний. Это делается с помощью к -р метода.
1. к-p метод и метод эффективной массы
Мы опять должны решить уравнение для собственных значений энергии:
-^-фА + У(г)фА = ?*фА,
§ 6. Зонная структура полупроводников и полуметаллов 159
где импульс
ЙТ
— = Р-
Написав решение в блоховской форме
Фк = иле1к-Г,
получим
-^(p-bJik)*Ufc + V(r)«* = ?ft«ft. (2.32)
Рассмотрим состояния с волновым вектором, равным нулю. Это обычно (хотя, как мы увидим, не всегда) экстремальная точка Eh. Описываемый метод можно непосредственно обобщить и для рассмотрения состояний, соседствующих с другими точками зоны Бриллюэна, однако случай окрестности точки к= 0 наиболее прост.
В нулевом порядке по к уравнение на собственные значения упрощается:
~ p2uh + V (г) uh = Ehuh.
2т
Его решениями служат блоховские состояния при к = 0, соответствующие различным зонам. Существует бесконечное число таких зон, и мы обозначим отвечающие им собственные функции через 4» 4*’, • • •» а соответствующие собственные энергии через
Е$\ ?{,*’ Функции ф?п) при всех к образуют полную систему
для разложения любой функции, подчиняющейся периодическим граничным условиям в кристалле, а функции ф&20 = 4П) — полную систему для разложения любой функции, имеющей трансляционную периодичность решетки и, следовательно, для разложения 4П) при k ф 0. Мы можем, таким образом, использовать функции 4П) как базис для разложения 4"’ в ряд теории возмущений.
Рассмотрим теперь состояния с к, не равным нулю. Слагаемое кинетической энергии в уравнении (2.32)
и 2Й ,
Я, = жк.р
можно рассматривать как возмущение первого порядка по к. Квадратичное же по к возмущение есть просто
Й2*2 2/я
я2=-
Теперь будем действовать в соответствии с обычной теорией возмущений. Поправка первого порядка имеет вид
й
160
Гл. II. Электронные состояния
Если кристалл обладает центром инверсии, функции ы&п) классифицируются по четности относительно этого центра. Отсюда следует, что написанный выше матричный элемент, а значит, и поправка первого порядка для такого кристалла обращаются в нуль. С другой стороны, в антимониде индия, например, центра инверсии нет и мы
Фиг. 51. Схема энергетических зон в
антимониде индия.
Показано расщепление максимума валентной зоны н минимум зоны проводимости, соответствующий малой массе. (Полное описание зонной структуры InSb можно найтн в работе Кейна [37].)
