Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
^ ы|,п)*ы*п) dr = Й0.
Имеется еще одно обобщение метода, которое также позволяет получить решения, отвечающие линейным комбинациям вырожденных состояний зоны. Тогда истинная волновая функция получается из ф заменой к на —/V в выражении для и{п}.
К сожалению, это приближение не приводит непосредственно к псевдогамильтониану в присутствии возмущения, так как его обоснование базируется на условии трансляционной периодичности. Его можно обобщить лишь на тот случай, когда возмущение кристалла очень медленно меняется в пространстве.
В § 2 мы уже отмечали, что динамическое поведение электрона в идеальном кристалле под воздействием приложенных сил подобно поведению частицы с гамильтонианом Я (ftk). Это было продемон-
§ 6. Зонная структура полупроводников и полуметаллов 163
стрировано с помощью конструирования волновых пакетов и, стало быть, справедливо, если приложенная сила медленно меняется в пространстве. В частности, любой приложенный потенциал должен слабо изменяться на межатомном расстоянии. Для такого медленно меняющегося потенциала К (г) в кристалле динамика электрона описывается уравнением
(2-36>
*. i
которое интуитивно кажется вполне обоснованным. Медленно меняющийся потенциал просто-напросто поднимает или опускает зоны в разных частях кристалла. Мы воспользуемся этим уравнением [заменив ih (d/d/) на ?] в п. 2 § 8 при рассмотрении примесных состояний в полупроводниках. Замена истинного уравнения Шредингера уравнением (2.36) называется методом эффективной массы. Мы видим, что он совершенно аналогичен теории псевдопотеициала.
Интересно рассмотреть влияние медленно меняющихся деформаций кристалла, например длинноволновых колебаний решетки. Обобщение на этот случай производится Не столь непосредственно. Можно выделить три эффекта, которые должны быть учтены.
1. Смещение с деформацией края зоны. Если экстремум приходится на точку к = 0, то линейный по деформации сдвиг может вызвать только дилатация. (Из соображений симметрии коэффициент, связывающий смещение края зоны со сдвиговой деформацией, должен обратиться в нуль.) Если же экстремум расположен при к ф 0, то линейное по деформации смещение может возникать и от сдвиговых деформаций. Такое смещение, очевидно, подобно приложенному потенциалу и его можно учесть, полагая энергию Е0 из уравнения (2.36) функцией координат.
2. Деформация может изменять тензор эффективной массы. Это обстоятельство учитывается тем, что отношение т/т* в уравнении (2.36) следует считать зависящим от координат. Отметим, что этот множитель в уравнении (2.36) расположен таким образом, чтобы гамильтониан остался эрмитовым, когда т/т* становится функцией координат. [Эрмитовость можно проверить, умножив уравнение (2.36) слева на ф'* и проинтегрировав. Затем следует провести два интегрирования по частям, используя при этом периодические граничные условия.)
3. Представим себе, что необходимо сшить волновые функции, вычисленные в двух областях со слегка отличающимися деформациями. Сшивать следует не псевдоволновые, а истинные волновые функции. Елоховская функция ы*(г) между атомами (или в частном случае — на границах ячейки) может зависеть от деформации и, следовательно, будет испытывать разрыв между двумя этими областями. Чтобы обеспечить непрерывность волновой функции, необходимо ввести разрыв в ф. Обозначим через Р некоторое среднее
11*
164
Гл. II. Электронные состояния
значение ы*(г) на границах ячейки; этот параметр в случае переменной деформации окажется функцией координат. В уравнении (2.36) это обстоятельство можно учесть таким образом, чтобы величина Р<р была непрерывной, что приводит к эрмитовому псевдогамильтониану
-Р,-&Е-яг(-55г)Д^+Р<?*<г>+1,(г>>ч'-;8тРч'- <2-37>
», 3
Эрмитовость необходима для выполнения уравнения непрерывности, гарантирующего сохранение заряда, и для обеспечения действительных собственных значений энергии. Такую довольно сложную форму уравнения можно приближенно получить с помощью метода ячеек [38], и ее можно с полным основанием распространить и на случай деформаций, быстро меняющихся в пространстве. Она применима даже при рассмотрении электронных состояний твердых растворов.
Если пренебречь теперь изменениями т/т* и р с координатой и положить массу т* изотропной, мы можем прокоммутировать d/dxi с р и т/т* и получить
“?&^(г>+V <г>1 Ф'=ih Ж'
Эта простая форма уравнения будет использована для описания взаимодействия электронов с продольными колебаниями решетки в полупроводниках.
Из уравнения (2.37) видно, что описание полупроводников с помощью псевдоволновой функции намного сложнее, чем соответствующее описание простых металлов. Усложнения проистекают, во-первых, из-за необходимости рассматривать зоны с величиной 1/т*, сильно отличающейся от значения для свободных электронов,— использование только первого слагаемого в выражении (2.35) было бы совершенно бессмысленным для большинства полупроводников. Вторая трудность, тесно связанная с первой, состоит в том, что блоховскую функцию ы*(г) нельзя представить константой в пространстве вне внутренних оболочек [к чему приводит оператор (1 — Р) в теории псевдопотенциала]. В кристаллах со структурой алмаза она близка к нулю в пространстве между атомами. В этом причина усложнения уравнения (2.37), связанного с появлением множителя р, и трудностей при переходе от псевдоволновой к истинной волновой функции. Наконец, это не позволяет дать ясную постановку задачи при неупорядоченном расположении атомов. Описание эффектов, связанных с изменениями ы*(г), с помощью параметра Р представляет собой, конечно, грубую аппроксимацию.
