Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Простые металлы и теория псевдопотенциалов________________149
Например, в теории электропроводности, основанной на модели свободных электронов, проводимость пропорциональна, как мы увидим, произведению времени релаксации электрона при рассеянии на скорость электрона. Если мы предположим, с одной стороны, что время релаксации не зависит от электрон-электронного и электрон-фононного взаимодействий, и одновременно будем считать, что при учете дополнительного взаимодействия скорость все же должна меняться, то изменится и проводимость. С другой стороны, заметим, что произведение времени релаксации на скорость есть просто средняя длина свободного пробега. Если предположить независимость этой величины от дополнительных взаимодействий, то мы придем к выводу, что эти взаимодействия не должны сказываться и на проводимости. Последний вывод действительно оказывается правильным: проводимость не зависит ни от электрон-электронного [341, ни от электрон-фононного [351 взаимодействий.
Изменения скорости электрона из-за этих взаимодействий можно в принципе рассчитать, однако в настоящее время надежная теория существует лишь для электрон-фононного взаимодействия. В дальнейшем мы, как правило, будем пренебрегать указанными усложнениями теории.
7. Многоволновые OPW ферми-поверхности
Одноволновая OPW модель зонной структуры, безусловно, является приближенной. Мы смогли перейти от уравнения Шредин-гера к уравнению с псевдопотенциалом без всяких аппроксимаций, но затем предположили, что псевдопотенциал исключительно слаб. Это допущение позволило нам получить довольно разумное описание зонной структуры простых металлов. Если мы сохраним в нашем рассмотрении конечный псевдопотенциал и будем учитывать его эффекты точно, мы получим истинную зонную структуру типа тех, которые описывались в §4. Иногда бывает удобно, особенно при изучении ферми-поверхностей, занять промежуточную позицию, а именно: учитывать псевдопотенциал в более высоком порядке теории возмущения, чем при одноволновой OPW аппроксимации, но по-прежнему считать его малым.
Физически не бесконечная малость псевдопотенциала означает, что электрон начинает испытывать дифракцию еще до того, как он точно достигнет брэгговской плоскости отражения. Следовательно, его орбиты как в обратном, так и в реальном пространствах несколько искажаются, и острые углы, которые мы получаем на одноволновой OPW ферми-поверхности, сглаживаются. Для пары дифракционных плоскостей это иллюстрируется на фиг. 45. Мы видим, что на самом деле ферми-поверхность приближается к брэгговской плоскости отражения (или грани зоны Бриллюэна) под прямым углом. Искажения идеальной ферми-поверхности оказываются наиболь-
150
Гл. 11. Электронные состояния
Расширенная'
зона
'ная
0
Многоволновая OPW поверхность
Фиг. 45. Ферми-поверхность в присутствии двух дифракционных плоскостей.
В верхней половине фигуры изображена одноволновая OPW поверхность в схеме расширенных зон слева н в схеме приведенных зон (/ и // — энергетические зоны) справа. Ввизу показано влияние на поверхность Фермн конечного псевдопотеициала.
шими на самой брэгговской плоскости и уменьшаются при удалении от нее. Вторую картину можно получить, если описывать состояния вблизи брэгговской плоскости как линейные комбинации двух OPW (или двух обыкновенных псевдоволновых функций). Такую аппроксимацию можно назвать двухволновой OPW аппроксимацией. Поскольку искажения ферми-поверхности велики лишь в непосредственной близости от отражающей плоскости, можно уловить существенные черты поведения поверхности, ограничиваясь в разложении волновой функции таким небольшим числом OPW. Этот результат связан с тем фактом, что матричный элемент (k + q | w | к> становится при больших q очень малым. К сожалению, если мы будем приближенно рассматривать ферми-поверхность, ограничиваясь в разложении небольшим числом плоских волн, причем пользуясь в разных точках поверхности разными волнами, мы обнаружим, что ферми-поверхность не описывается доста-
§ S. Простые металлы и теория псевдопотенциалов________________151
точно хорошо в промежуточных точках. Поэтому, чтобы получить очень точную картину всей ферми-поверхности, необходимо провести полный расчет зонной структуры, учитывающий много плоских волн.
Рассмотрим, однако, зонную структуру в непосредственной близости от брэгговской плоскости отражения, которая делит пополам вектор обратной решетки q. Выберем систему координат таким образом, чтобы вектор q лежал в направлении оси г. Мы будем интересоваться состояниями, для которых компонента kz почти равна q/2. Обе OPW, необходимые нам для дальнейшего описания, характеризуются волновыми векторами кик — q, отвечающими состояниям, между которыми может произойти дифракция. Пусть матричный элемент псевдопотенциала, связывающий эти состояния, есть
Выберем начало отсчета энергии таким образом, чтобы исключить среднее значение псевдопотенциала <k | w | к>. Тогда субматрица гамильтониана, построенная на двух указанных состояниях, будет
Здесь все величины выражены в атомных единицах, т. е. мы приняли за единицу длины боровский радиус, за единицу массы — массу электрона и за единицу времени —секунды. В этих единицах Ь = т = е = 1, и энергии измеряются в атомных единицах (ат. ед.) (1 ат. ед. = 27,2 эВ). Удобно за начало отсчета в обратном пространстве принять точку q/2 (как показано на фиг. 46). Тогда матрица гамильтониана принимает вид
