Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Посмотрим теперь, какова связь между построенной нами ферми-поверхностью и дифракционной картиной. Мы уже указывали, что брэгговские отражения возникают каждый раз, когда два состояния с одной и той же энергией отличаются на вектор обратной решетки. При нашем методе построения мы изображаем все состояния, отличающиеся на вектор обратной решетки, наложенными друг на друга в одной и той же зоне Бриллюэна, причем сферы отвечают состояниям с одной и той же энергией — энергией Ферми. Таким образом, пересечения сфер друг с другом соответствуют брэгговским отражениям. Волновой вектор электрона при каждом пересечении переходит на другой сегмент сферы, т. е. движется поферми-поверхности, которая отвечает данной зоне (а именно ее мы и построили). Дифракционная и зонная картины — это существенно тоже самое: они просто выражают одно и то же на разных языках.
Мы получили энергетические зоны, или ферми-поверхность, приведя волновые векторы всех состояний в одну зону с центром в начале координат, поэтому такая зона часто называется приведенной зоной, или первой зоной Бриллюэна. Коль скоро мы привели ферми-поверхность в одну зону и установили, к какой из энергетических зон относится каждый из сегментов, мы можем, если пожелаем, совершить обратную процедуру, т. е. протранслировать эти сегменты в обратном направлении, так, чтобы в результате опять получилась исходная сфера. Однако каждый из ее сегментов мы будем теперь приписывать определенной зоне; аналогично некоторой зоне можно приписать и каждую область обратного простран-
9*
132
Гл. II. Электронные состояния
Ш IV
Фиг. 38. Первые четыре зоны Бриллюэна в схеме расширенных зон для гранецентрированной кубической структуры.
Впервые построены Николасом [29].
ства, лежащую за пределами приведенной зоны. Так, область, в которой в соответствии с нашим построением окажутся сегменты ферми-поверхности, относящиеся ко второй энергетической зоне, называется второй зоной Бриллюэна. Подобным же образом можно построить третью, четвертую и пятую зоны Бриллюэна. Такая процедура получила название схемы расширенных зон. Одноволновая OPW модель описывает систему в схеме расширенных зон. В трехмерной системе зоны Бриллюэна в такой схеме столь сложны, что они вряд ли могут быть удобны для работы; в этом легко убедиться из фиг. 38, где показаны первые четыре зоны Бриллюэна гранецентрированной кубической структуры.
Иногда используется еще и третье представление зон. Оно состоит в том, что полная картина, построенная в первой зоне Бриллюэна, периодически повторяется в соответствии с симметрией обратной решетки во всем обратном пространстве. Такое представление для
§ 5. Простые металлы и теория псевдопотенциалов_________________133
третьей зоны Бриллюэна показано на фиг. 37. Эта схема оказывается полезной, если мы хотим проследить за орбитой в реальном пространстве, когда орбита в пространстве волновых векторов пересекает грани зоны. Такая схема называется схемой повторяющихся зон.
Построение ферми-поверхностей в трех измерениях представляет собой непосредственное обобщение той процедуры, которую мы проиллюстрировали с помощью фиг. 37 на примере двух измерений. Для данной валентности мы точно знаем число электронов на атом, а следовательно, и радиус ферми-сферы. Объем ферми-сферы равен половине произведения валентности на объем первой зоны Бриллюэна. Таким образом, все построения сводятся просто к упражнениям в геометрии и приводят к поверхностям типа показанных на фиг. 39 для гранецентрированной кубической структурых). Сечения таких поверхностей очень похожи на двумерные картинки, изображенные на фиг. 37, за исключением, разумеется, того, что окружности, отвечающие сферам с центрами в узлах обратной решетки, не лежащих в плоскости сечения, меньше. Отметим, что ферми-поверхности трех- и четырехвалентных металлов с гранецентрированной кубической решеткой совершенно аналогичны тем, которые показаны на примере двух измерений.
6. Экспериментальное изучение ферми-поверхностей г)
Чтобы продемонстрировать, сколь полезными для интерпретации экспериментов оказываются построения ферми-поверхностей, мы еще раз рассмотрим, как связаны электронные орбиты в реальном пространстве с формой ферми-поверхности. В § 2 мы уже получили большую часть относящихся к этому вопросу результатов для зонной структуры общего вида. Однако эти результаты станут еще понятнее, если мы обсудим их на примере простой модели.
Пусть теперь скорость будет скоростью свободных электронов: v = Шт. Тогда уравнение движения для волнового вектора к в присутствии однородного магнитного поля имеет простой вид
!=-^кХИ- (2-27)
Таким образом, в промежутках между двумя актами дифракции электрон движется вдоль линии пересечения ферми-поверхности плоскостью постоянного кг (вектор Н направлен вдоль оси г) с постоянной угловой скоростью о)с = еН/тс. Если провести такую плоскость через перестроенные ферми-поверхности, то мы сможем
*) Соответствующие построения для объемноцентрированной и гексагональной плотно упакованной структур металлов можно найти в книге [21).
