Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Подобные кривые для некоторых простых металлов изображены на фиг. 33. Обратите внимание, что в длинноволновом пределе все OPW формфакторы стремятся к значению — 2/3eF (eF — энергия Ферми). Почему так происходит, мы увидим, когда будем рассматривать экранирование. При более коротких длинах волн член, отвечающий в псевдопотенциале отталкиванию, оказывается уже важным, и формфактор становится положительным. Единственная кривая для каждого металла (фиг. 33) дает нам всю информацию о структуре иона, которая нужна для расчета широкого круга свойств. В данном случае мы интересуемся только самой зонной структурой, поэтому для нас будут важны лишь значения q, равные векторам обратной решетки.
l состояниями — двумя плоскими волиа-ми | к) и | к + q > (волновые векторы которых лежат на ферми-сфере), зави-
Ф и г. 32. Матричные элементы между
сящие только от q.
Фиг. 33. OPW формфакторы для легких простых металлов, отнесенные к соответствующим энергиям Ферми (рассчитаны в работе [28]).
Масштаб и обозначения показаны в правом нижнем углу. Кривые являются иллюстративными, но их можно рассматривать как грубое приближение к оптимальным кривым.
122
Гл. 11. Электронные состояния
2. Метод модельного потенциала 1)
Хейне и Абаренков [23] предложили другой подход к решению той же самой проблемы. Они назвали его методом модельного потенциала. В методе Хейне и Абаренкова потенциал иона заменяется некоторой прямоугольной потенциальной ямой, параметры
yvyyyy
т
W(r)
<t> н г. 34. В методе модельных потенциалов истинный потенциал V (г) заменяется внутри некоторой сферы, окружающей каждый нон, гладким потенциалом W (г), который подбирается таким образом, чтобы на поверхности сферы модельная волновая функция <р обладала тем же значением и производной, что н истинная волновая функция ф, но не имела внутри сферы осцилляций.
которой зависят как от энергии, так и от волнового числа. Эта картина изображена на фиг. 34.
Отметим, что при расчете собственных функций или собственных значений атома — как свободного, так и иона в решетке — можно выделить две области: область сердцевины атома и область вне ее. Для этого представим себе сферу, окружающую сердцевину и отделяющую указанные области. Теперь можно вычислять волновую функцию отдельно внутри и вне сферы, потребовав, чтобы
*) Обсуждение этого метода и ссылки на соответствующую литературу читатель найдет в работе [22]. (Более полные обзоры см. в сборнике [62]. См. также [73).— Прим. перев.)
§ 5. Простые металлы и теория псевдопотенциалов________________123
на границе сферы решения непрерывно и гладко переходили друг в друга. При этом единственная информация, необходимая для построения волновой функции вне сферы, —это значения функции и ее производной на поверхности сферы, полученные в результате решения задачи для внутренней области. В обеих областях волновая функция разлагается по сферическим гармоникам, и для решения вне сферы важны только значения логарифмических производных каждой из компонент волновой функции на поверхности сферы. Таким образом, вне сферы мы получим ту же волновую функцию (с точностью до нормировочного множителя), а следовательно, и ту же энергию, если заменим истинный потенциал иона внутри сферы некоторым постоянным потенциалом, которому отвечает то же значение логарифмической производной на поверхности сферы. Этот постоянный потенциал обязательно должен зависеть от азимутального квантового числа I и энергии, причем он выбирается так, чтобы волновая функция внутри сферы не имела узлов. Следовательно, процедура состоит в замене сильного потенциала сердцевины каждого иона внутри сферы таким модельным потенциалом. Тогда модельная волновая функция, или псевдоволновая функция, которую мы получим, будет, как и псевдоволновая функция в методе псевдопотенциалов, гладкой и похожей на волновую функцию для свободных электронов во всем кристалле.
Таким образом, метод модельных потенциалов имеет в общем те же черты, что и метод псевдопотенциалов. Однако, как мы сейчас увидим, модельный потенциал можно найти прямо из эксперимента. Применим сначала этот метод к свободному атому. Величину постоянной составляющей модельного потенциала можно определить, приравняв собственные значения энергии соответствующим экспериментальным значениям энергии термов. Тогда для каждого азимутального квантового числа мы найдем величины констант, отвечающие энергиям соответствующих термов. Интерполируя между этими значениями, можно найти величины констант, соответствующие энергиям, характерным для расчета внутри металла. Такая процедура позволяет нам избежать тех сложностей, которые возникают в методе псевдопотенциалов из-за необходимости пользоваться вычисленными потенциалами и волновыми функциями сердцевины. С другой стороны, нам не удается избежать трудностей, связанных, например, с неэрмитовостью псевдопотеициала, хотя эта сторона вопроса при первоначальной формулировке метода модельного потенциала не принималась во внимание. Использование в расчетах экспериментальных значений энергии электронных термов существенно упрощает проблему, так что оказывается возможным определить этим методом OPW формфакторы для всех простых металлов. Такие расчеты были выполнены Анималу*).
