Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, прослеживая за изменениями неприводимых представлений от линии к линии через всю зону Бриллюэна, часто удается предсказать, что зоны определенной симметрии должны пересекаться вдоль некоторых линий симметрии. Такое вырождение называется случайным, поскольку положение линий вырождения точно не определяется симметрией. Небольшое изменение потенциала приведет к смещению этих линий. Часто линия такого случайного вырождения оказывается лежащей в плоскости симметрии; тогда она называется линией контакта между двумя зонами, которые вырождены вдоль этой линии.
Таким образом, мы видим, что значительное количество информации об энергетических зонах снова можно получить на основании только одной симметрии, однако, чтобы определить сами зоны, необходим детальный расчет.
6. Расчет энергетических зон
Электронные энергетические зоны являются фундаментальными характеристиками электронной структуры твердого тела, подобно тому как значения атомных термов в свободном атоме в основном определяют его электронную структуру. Расчеты энергетических зон — работа для специалиста, однако понимание их результатов существенно для понимания любых процессов в твердом теле. Поэтому мы ниже рассмотрим и обсудим несколько характерных
*) Более подробное обсуждение этих вопросов можно найти в книге [20]. (См. также [61].— Прим. перев.)
§ 4. Расчеты энергетических зон
105
энергетических зон. В дальнейшем, при анализе свойств твердых тел, мы во многих случаях тоже будем начинать с грубого описания зонной структуры, которому соответствует несложный расчет. Однако такое описание всегда нужно рассматривать как приближение к истинной зонной структуре, типа той, которую мы сейчас рассмотрим.
Как мы уже указывали ранее, результаты расчетов зонных структур обычно представляют в виде зависимостей от волновых векторов, лежащих вдоль линий симметрии. На фиг. 27 изображена зона Бриллюэна для гранецентрированной кубической структуры
Фиг. 27. Линии и точки симметрии в зоне Бриллюэна для гранецентрированной кубической структуры.
Точка Г лежит в центре зоны. Обратите внимание, что точки К я U отличаются на вектор обратной решетки (в направлении [III]), а потому эквивалентны. Лниня UX эквивалентна продолжению линии Г/С за пределы зоны Бриллюэна. В скобках укаэаиы символы, принятые для обозначения соответствующих линий симметрии.
и показаны несколько линий и точек симметрии. Эта фигура пригодится нам во всех трех случаях, которые мы будем рассматривать. Так как энергетические зоны имеют полную симметрию кубической решетки, то, зная энергии вдоль немногих показанных на фиг. 27 линий, мы можем получить информацию почти о всей зоне Бриллюэна. Существуют, например, восемь направлений типа [111], и энергетические зоны для одного из них такие же, как и для всех остальных. В то же время вид энергетических зон для линий симметрии может иногда сбивать с толку. Часто вдоль таких линий зоны оказываются вырожденными, а в произвольной точке зоны Бриллюэна мы не ожидаем никакого вырождения. Заметим, что группа волнового вектора, имеющего направление [111],— это группа треугольника. По этой причине, когда мы описывали представления группы треугольника, мы выбрали для нее символ А. Аналогично симметрия на линии Л — это симметрия квадрата, которая также уже обсуждалась. Однако указанные группы волновых векторов не вполне эквивалентны тем, которые фигурируют в рассматриваемых примерах, из-за существования дополнительной симметрии относительно обращения времени. Например, для волновых векторов в направлении [100] операция отражения в плоскости, перпендикулярной этому направлению, с последую-
106
Гл. //. Электронные состояния
щей инверсией времени преобразует волновой вектор сам в себя и поэтому является элементом группы. В обозначениях представлений принято соответственно писать или не писать штрих в зависимости от их поведения по отношению к такой операции.
Первая зонная структура, которую мы рассмотрим,— это зонная структура простого металла. Прототипом такого металла может служить алюминий; его зонная структура показана на фиг. 28. Наиболее впечатляющая черта этих энергетических зон — существование небольших энергетических щелей между различными зонами, например между первой и второй зонами в точке X. Первая зона, начинающаяся из точки Г, очень близка к параболе для свободного электронного газа. Мы увидим, что все энергетические зоны в алюминии действительно очень похожи на зоны для свободных электронов. Сложность показанной на фиг. 28 структуры воз-
Ф и г. 28. Энергетические зоны в алюминии для различных линий симметрии, рассчитанные Сегалом (26].
Показан также ферми-уровень, ниже которого все состояния заняты.
никает главным образом в результате приведения энергии свободных электронов к первой зоне Бриллюэна. Мы уже видели, как такое приведение усложняет зоны свободных электронов в одномерном случае. Сходство со свободными электронами — очень важная черта зонной структуры простых металлов; в дальнейшем мы будем очень часто ее использовать.
Обратите внимание на вырождение первой и второй зон в точке W (симметрия W%), а также на случайное вырождение второй и третьей зон вдоль направления Z.
