Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Произведем такое разложение волновых функций по OPW и подставим его в уравнение Шредингера. Мы снова увидим, что связаны между собой только OPW, у которых волновые векторы отличаются на вектор обратной решетки. Соответствующие матричные элементы можно найти, если известен потенциал и волновые функции внутренних оболочек. И снова мы получаем систему уравнений, но на этот раз матричные элементы, связывающие ak и ah-, убывают с ростом к — к' значительно быстрее, и можно ограничиться гораздо меньшим числом уравнений. Как будет видно в дальнейшем, для многих применений достаточно только двух или трех OPW; для полного расчета зонной структуры необходимо 25—30, а для очень точных расчетов — иногда 50 или 60 OPW. Использование OPW позволяет значительно сократить объем вычислений, необходимых для расчета энергетических зон. Подробнее о методе OPW мы будем говорить несколько позже при обсуждении псевдопотенциалов.
4. Метод присоединенных плоских волн [16]
Несколько ранее Слэтер 117] предложил в качестве базиса для разложения волновых функций другой тип функций — так называемые присоединенные плоские волны, или APW *). Прежде чем начать конструировать эти функции, целесообразно сначала выбрать какую-то аппроксимацию для потенциала, который будет использоваться в расчетах. Можно ожидать, что вблизи каждого ядра потенциал будет, скорее всего, сферически симметричным, а в пространстве между ядрами — слабо меняться. Поэтому естественно сконструировать потенциал следующим образом. Внутри сфер некоторого радиуса, окружающих каждое из ядер, будем считать потенциал точно сферически симметричным (радиус сфер должен быть достаточно малым, чтобы потенциалы, отвечающие различным атомам, не перекрывались), а в пространстве между сферами положим потенциал равным некоторой константе (фиг. 26). Обычно, конструируя истинный потенциал, которого можно было бы ожидать в кристалле, аппроксимируют его именно таким «ячеечным» поген-
*) Сокращенная запись термина «Augmented Plane Waves».— Прим. rupee.
§ 4. Расчеты энергетических зон
101
циалом *). Однако, постулируя такой потенциал, мы не можем производить точные самосогласованные расчеты. Кроме того, возникают серьезные трудности, если мы хотим обобщить теорию на случай неупорядоченных кристаллов, или кристаллов с дефектами. Для расчетов энергетической зонной структуры такая аппроксимация оказывается сама по себе очень хорошей, однако, затратив дополнительные усилия, удается даже несколько улучшить это «ячеечное» приближение.
Присоединенные плоские волны определяются следующим образом: в пространстве между сферами волновые функции представляют
Фиг. 26. Схематическое изображение ячеечного потенциала.
Каждая яма вблизи центра атома уходит в — оо, ио иа фигуре ямы обрезаны.
собой, очевидно, плоские волны. В интересующей нас области энергий мы строим также решения и для сферически симметричного потенциала. Коэффициенты перед этими функциями подбираются затем таким образом, чтобы волновая функция на поверхности сферы, переходя в плоскую волну, не испытывала скачка. Однако избежать таким образом разрывности производной не удается. Собственные функции электронов, отвечающие данной энергии, могут быть точно разложены по таким APW. При этом APW заменяют нам в расчетах плоские волны или OPW. Как и в случае OPW, требуется лишь ограниченное число членов суммы, и поэтому для расчета энергетических зон метод APW является очень эффективным. Однако для точных расчетов приходится использовать быстродействующие вычислительные машины.
Третий метод расчета зонной структуры — это метод функций Грина или метод Корринги — Кона — Ростокера (KKR). Он формулируется совершенно иначе, но, как было установлено, все методы при одном и том же потенциале дают одинаковые результаты. Мы не будем останавливаться на деталях метода KKR; читатель сможет найти подробности в работе [18].
*) В оригинале используется термин «muffin-tin potential», что дословно означает «потенциал в виде формочек для приготовления сдобы».— Прим. перев.
102
Гл. II. Электронные состояния
5. Симметрия энергетических зон
Прежде чем говорить о результатах расчетов энергетической зонной структуры, имеет смысл остановиться на вопросе о том, какой отпечаток накладывает симметрия кристаллов на энергетические зоны. Соображения симметрии широко используются как в самих расчетах энергетических зон, так и при формулировке результатов этих расчетов. Для описания зонной структуры мы уже использовали трансляционную симметрию решетки; теперь мы попытаемся получить дополнительную информацию из свойств симметрии относительно поворотов и отражений, которые составляют точечную группу или пространственную группу кристалла.
Рассмотрим снова кристалл, обладающий некоторой группой поворотов и отражений, которая преобразует кристалл, а следовательно, и гамильтониан сам в себя. Пусть R — одна из операций симметрии этой группы. Будем считать, что мы нашли волновую функцию электрона фь соответствующую некоторому волновому вектору к в зоне Бриллюэна. Предположим, что операция R «вращает» волновую функцию. Но при «вращении» волновой функции точно таким же образом должен вращаться и волновой вектор, т. е.
