Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Rtyk = Фяь-
Операция симметрии дает нам новую волновую функцию, отвечающую новому волновому вектору #к. Подействовав всеми операциями симметрии группы на данную волновую функцию ф* или на ее волновой вектор к, мы получим звезду вектора к. Эта совокупность волновых векторов в случае кубической симметрии может содержать 48 векторов. Операции симметрии оставляют гамильтониан неизменным, следовательно, всем состояниям, возникающим в результате преобразования, должна отвечать одна и та же энергия. Таким образом, любая энергетическая зона имеет полную симметрию кристалла, т. е. при всех преобразованиях из группы симметрии кристалла энергетическая зона остается неизменной. Это справедливо и для энергетических зон в квадратной решетке, показанных на фиг. 22 и 23.
Обратим внимание еще на одно свойство симметрии энергетических зон. Рассмотрим уравнение, комплексно сопряженное уравнению на собственные значения энергии:
<$?ф* = ?фй.
Гамильтониан, будучи действительным, переходит при этом сам в себя, но волновой вектор к меняется на —к. Это справедливо при любой симметрии кристалла. Следовательно, энергетические зоны обладают симметрией по отношению к операции инверсии, даже если группа кристалла инверсии не содержит. Поскольку переход к комплексно сопряженному уравнению Шредингера эквивалентен
§ 4. Расчеты энергетических зон
103
изменению знака времени, мы здесь фактически воспользовались симметрией уравнения Шредингера относительно инверсии времени.
При некотором специальном выборе к, например в направлении [100] кубического кристалла, определенные операции симметрии не превращают этот вектор к в другой, а оставляют его неизменным. Совокупность таких операций называется группой вектора к. Группа к является подгруппой полной группы симметрии кристалла.
С помощью волновых функций, отвечающих такому симметричному волновому вектору, можно получить представление группы к. Если состояние с данным волновым вектором к вырождено, то всегда можно построить такие линейные комбинации соответствующих волновых функций, что эта совокупность функций {фй} будет преобразовываться по неприводимому представлению группы к. Таким образом, зная группу волнового вектора к, мы сможем указать, какого именно вырождения следует ожидать вследствие симметрии, а также классифицировать волновые функции в соответствии с неприводимыми представлениями, по которым онн преобразуются.
Рассмотрим, например, состояние в кубическом кристалле, отвечающее волновому вектору в направлении [111] зоны Бриллюэ-на. В данном случае группа волнового вектора — это группа равностороннего треугольника (для простоты мы пренебрегаем симметрией обращения времени). Можно ожидать, что этому направлению будут отвечать как невырожденные, так н двукратно вырожденные зоны. Мы будем обозначать соответствующие зоны в зависимости от их свойств симметрии через А1э Л2, Л3.
Разумеется, для произвольного волнового вектора группа симметрии есть просто Е. Единственное неприводимое представление этой группы — единичное представление, и можно ожидать, что вырождения состояний не будет (кроме вырождения, отвечающего обращению времени). Линии в зоне Бриллюэна, для которых группы волновых векторов содержат не только единичные элементы, называются линиями симметрии. Аналогично плоскости называются плоскостями симметрии, если отвечающие им векторы преобразуются не только по единичному представлению. Наконец, в некоторых точках зоны Бриллюэна группа волнового вектора может содержать больше элементов, чем группы симметрии линий, на пересечении которых лежат эти точки. Такие точки называются точками симметрии. Вырождение в одной из точек симметрии W было показано на фиг. 23. Другие случаи вырождения мы проиллюстрируем на примерах зонных структур, которые будут обсуждаться в п. 6 данного параграфа.
Для состояний, лежащих вдоль линий симметрии, вычисления детерминантов при расчете зон упрощаются, поскольку, воспользовавшись определенной симметрией кристалла, мы можем умень-
104
Гл. II. Электронные состояния
шить количество уравнений, которые нужно решить. Поэтому расчеты энергетических зон выполняются главным образом для линий и точек симметрии в зоне Бриллюэна.
Дополнительную информацию об энергетических зонах в кристалле можно получить, если воспользоваться методами, аналогичными тем, которые применяются при анализе расщепления кристаллическим полем атомных состояний. Рассмотрим состояния, отвечающие некоторой точке симметрии в зоне Бриллюэна. Будем классифицировать эти состояния в соответствии с неприводимыми представлениями группы симметрии волнового вектора в данной точке. Если волновой вектор начинает смещаться из этой точки, его группа становится меньше, и часть вырождения снимаетсям Как и в случае расщепления атомных уровней кристаллически, полем, мы можем определить те неприводимые представления, на которые расщепляется исходное представление. Условия, связывающие неприводимые представления в соседних точках, линиях и плоскостях, называются условиями совместности. Впервые эти условия были рассмотрены Боукартом, Смолуховским и Вигнером [19]1).
