Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
г) Подробное обсуждение этих вопросов можно найти, например, в книгах [24, 25]. (См. также [67, 68].— Прим. перев.)
Первая зона
Вторая зона
Фиг. 39. Ферми-поверхности в одноволновом OPW приближении для метал
Области с выпуклой поверхностью заполнены, с вогнутой поверхностью свободны. Обра для одновалентного металла и в точке X — для двухвалентного. Центры зон Бриллюэиа вертой — в точке L. Примерами одно-, двух-, трех- и четырехвалентных металлов могут
Третья лона
Четвертая лона
ч.\
-------
лов с валентностью 1—4 и гранецентрированными кубическими решетками.
тите внимание: центр зоны Бриллюэна для первой энергетической зоны находится в точке Г для второй энергетической зоны находятся в точке Г, для третьей — в точке X, для чет-служить соответственно медь, кальций, алюминий и свинец.
136
Гл. П. Электронные состояния
проследить за движением электрона вдоль каждой из дуг сечения. Когда электрон достигает точки пересечения с другой сферой, происходит дифракция, и электрон попадает уже на новую сферу, т. е. продолжает движение по ферми-поверхности, относящейся к данной зоне. При этом движение опять совершается по плоскости постоянного kz — той же самой плоскости в нашей зоне Бриллюэна, поскольку, по условиям построения, два вектора, связанные актом дифракции, изображаются как одна и та же точка. Как мы установили ранее, в более общем случае, траектория электрона в зоне Бриллюэна представляет собой линию пересечения поверхности постоянной энергии (в данном случае ферми-поверхности) плоскостью постоянного kz.
Мы можем также проследить и за траекторией электрона в реальном пространстве. Когда волновой вектор перемещается по данной дуге, проекция координаты электрона на плоскость, для которой г = const, движется по такой же дуге, только эта дуга повернута на 90° и масштаб изменен в еН/Ьс раз. Если электрон дифрагирует, он меняет направление движения и опять следует по дуге, повернутой на 90° относительно своего двойника в обратном пространстве, а масштаб определяется тем же множителем. Таким образом, мы наглядно видим, что проекция электронной орбиты в реальном пространстве имеет в точности ту же форму, что и соответствующее сечение ферми-поверхности.
Масштабный множитель известен для каждого эксперимента. Следовательно, если мы уже выполнили простое геометрическое построение ферми-поверхности, то тем самым мы можем надежно предсказать форму и размер всех возможных орбит электронов в кристалле, когда приложено магнитное поле. До сих пор мы предполагали, что псевдопотенциал слабый и его воздействие на электрон проявляется только как простая дифракция. Мы уже видели на примере реальных зонных структур, что псевдопотенциал не бесконечно мал, и, следовательно, должны появиться соответствующие искажения ферми-поверхностей и орбит. Поэтому наши предсказания не могут абсолютно согласовываться с экспериментом, однако они совершенно определенны и их легко точно проверить.
Разумеется, чтобы сравнивать наши результаты с экспериментом, мы должны подставить в формулы определенные числа, а это может оказаться довольно хлопотным занятием, особенно когда имеешь дело с магнитным полем. Поэтому, прежде чем идти дальше, быть может, полезно сказать об этом несколько слов. Заодно мы попробуем оценить значение таких величин, как размеры орбит, которые представляют физический интерес. Мы будем пользоваться системой единиц СГС. Напряженность магнитного поля Н обычно задается в эрстедах. Если мы измеряем электронный заряд в электростатических единицах, а поле — в эрстедах, то произведение еН будет измеряться в динах. (Как видно, например, из выражения
§ 5. Простые металлы и теория псевдопотенциалов_________________137
(2.27), еН имеет размерность силы.] Таким образом, мы будем измерять Н в эрстедах, е — в электростатических единицах, а все другие величины — в единицах СГС. Тогда основные фундаментальные константы будут равны
й = 1,054* 10-27 эрг* с, т = 9,1 • 10-28 г, с = 3* 1010 см/с, е = 4,8* 10-10 ед. СГС.
Длина волны электрона с энергией Ферми будет порядка межатомного расстояния, т. е. порядка нескольких ангстрем. Следовательно, kF будет примерно 108 см-1; например, для алюминия kF = = 1,75-lO8 см-1. Множитель перехода, характеризующий размер орбит в реальном пространстве, есть Tic/eH и равен 0,66 -10-10 см2 для поля 1000 Э. Значит, при таком поле радиус орбиты свободного электрона на поверхности Ферми в алюминии равен 1,15-10-2 см, т. е. на много порядков больше, чем межатомное расстояние. Циклотронная частота для этого поля еН/me = 17,6"Ю* рад/с, или 2,8 кМГц. Скорость электрона на поверхности Ферми в алюминии не зависит, конечно, от поля и равна 2,03-Ю8 см/с. Эта величина меньше скорости света, но гораздо больше скорости звука, которая в алюминии равна 5,1 -Ю5 см/с.
Энергии обычно измеряются в электронвольтах (1 эВ = 1,602 х X I0-12 эрг). Для алюминия энергия Ферми равна 11,6 эВ; эта величина значительно больше энергии КТ при комнатной температуре, которая составляет 1/40эВ. В полупроводниках, гдеэнергии электронов имеют, как правило, порядок КТ, соответствующая скорость электронов равна при комнатной температуре 94 -105 см/с, т. е. все еще значительно больше скорости звука. Теперь, после такой беглой экскурсии по единицам и величинам мы перейдем к обсуждению экспериментов.
