Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
По обеим осям отложен вектор к в единицах ка, причем ка несколько превышает кр. Внутренняя пунктирная линия изображает центральное сечение в плоскости (НО) одно-волновой OPW ферми-поверхности во второй энергетической зоне.
классическое движение. Тогда разность площадей между соседними орбитами в пространстве волновых векторов будет определяться выражением
2леН
ДЛ = -^-»о>с =
he
Следовательно, разрешенные орбиты отделены друг от друга пространством одинаковой площади.
Совершенно строго вывести этот результат довольно трудно, но мы можем его получить, воспользовавшись правилом квантования Бора — Зоммерфельда:
(2.28)
( p-dr= j r-dp = (n + y)h,
§ 5. Простые металлы и теория псевдопотенциалов________________141
где р — канонический импульс, п — целое число, а у —опять некоторая константа, равная для свободного электрона в магнитном поле 1/2. Не нужно путать канонический и кинетический импульсы; в противном случае, как мы увидим в дальнейшем, мы можем ошибиться в 2 раза. Оказывается, что ftk соответствует кинетическому импульсу. С помощью второго интеграла (2.28) мы выразим результат через орбиты в реальном пространстве, а затем перейдем к пространству волновых векторов.
Мы уже видели, что динамику электрона в кристалле можно описать в терминах гамильтониана Ж (р), соответствующего данной зонной структуре. При этом легко учесть и магнитное поле: нужно только заменить в гамильтониане р на р + е\/с (заряд электрона равен —е). Для однородного магнитного поля Н векторный потенциал можно записать как
А = -IrxH.
Таким образом, теперь гамильтониан
Ж = Ж( Р-егх^-)
и уравнения Гамильтона принимают вид dr дЗС dt др
Т=--^--?(^х«) = -?(-ЗГХН)- Р-29)
В правильности преобразования уравнения (2.29) можно убедиться, если расписать все векторы в компонентах. Обратите внимание на множитель V2 в этом уравнении: в соответствующем выражении для кинетического импульса он бы отсутствовал. Из уравнения (2.29) следует, что
н
dp = — е dr X 2^-.
Подставляя это выражение в (2.28) и используя векторное тождество
А-(ВхС) = С. (Ах В),
получаем
j r-dp = ^T J r-(drxH)= -Ц-- J ~^-=(п + у)И.
Благодаря тому что под интегралом стоит смешанное произведение, вклад в интеграл дают только компоненты г, перпендикулярные Н, т. е. интеграл просто равен площади, ограниченной проекцией
142
Гл. II. Электронные состояния
орбиты на плоскость, перпендикулярную Н. Этот результат удобно переписать в виде площади сечения ферми-поверхности, воспользовавшись нашим масштабным множителем eH/hc. Обозначая соответствующую площадь сечения ферми-поверхности через А, находим
А = ^-{п + у), (2.30)
что согласуется с формулой, полученной ранее.
Выражение (2.30) — главный результат расчета. Мы видим, что условия квантования допускают существование только некоторой совокупности орбит, которым отвечают площади в обратном пространстве, образующие дискретную последовательность. Разность площадей соседних орбит в этой последовательности прямо пропорциональна магнитному полю. Если бы условий квантования не было, то любое сечение поверхности постоянной энергии плоскостью, перпендикулярной Н, соответствовало бы разрешенной орбите в обратном пространстве. Благодаря же этим условиям для данной плоскости, перпендикулярной Н, разрешенные состояния появляются при пересечении лишь некоторых изоэнергетиче-ских поверхностей. Таким образом, разрешенные состояния лежат в обратном пространстве на цилиндрах, каждый из которых имеет постоянную площадь сечения в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Такие совокупности цилиндров показаны на фиг. 42. Мы обрезали каждый из цилиндров на изоэнер-гетической поверхности, соответствующей энергии Ферми. Состояния на таких цилиндрах сильно вырождены (в конечном итоге вырождение связано с тем, что орбиты одного и того же размера могут находиться в разных точках кристалла), поэтому полное число состояний внутри, например, ферми-сферы лишь незначительно меняется при включении магнитного поля. Если мы подставим в выражение соответствующие числа, мы увидим, что для обычного металла в полях порядка килоэрстед число цилиндров внутри поверхности Ферми достигает многих тысяч. Однако качественно ситуация остается такой же, как показано на фиг. 42.
При увеличении магнитного поля сечение каждого из цилиндров постепенно увеличивается и в конце концов проходит через ферми-сферу, которая при этом остается почти неизменной. В то же время степень вырождения, отвечающая каждому из цилиндров внутри сферы, конечно, увеличивается, так что полное число состояний внутри сферы остается постоянным. Давайте теперь посмотрим, каким образом это обстоятельство влияет на свойства металла и приводит к эффекту де Гааза — ван Альфена.
Многие свойства, в том числе магнитная восприимчивость, зависят от плотности состояний на поверхности Ферми, которая пропорциональна числу состояний, лежащих между двумя близко расположенными поверхностями постоянной энергии, равной (или
§ 5. Простые металлы и теория псевдопотенциалов_________________143
почти равной) энергии Ферми. Это число состояний в свою очередь непосредственно связано с величиной сечений соответствующих цилиндров, находящихся между двумя изоэнергетическими поверхностями. Отметим, что, когда один из цилиндров становится почти тангенциальным экватору ферми-поверхности, соответствующее сечение очень быстро возрастает; но это же сечение затем резко уменьшается, когда цилиндр выскакивает за пределы ферми-поверхности. Таким образом, каждый раз, когда очередной цилиндр
