Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
128
Гл. П. Электронные состояния
вательно, является непрерывным и движение волнового вектора в пределах зоны Бриллюэна. Мы снова рассматриваем систему с трансляционной периодичностью, так что при описании состояний опять можно ограничиться только зоной Бриллюэна.
Мы уже отмечали, что в такой системе некоторое состояние, характеризуемое волновым вектором к, может с таким же успехом описываться и любым другим волновым вектором, отличающимся от данного к на произвольный вектор обратной решетки. Сейчас
а
Фиг. 35. Возможная орбита в реальном пространстве для почти свободного электрона в магнитном поле.
Брэгговские отражения возникают в точках а, Ь, с и d. Параллельные линии изображают атомные плоскости, дающие вклад в дифракцию в точке d.
С
мы предположим, что энергии электронов равны h2kV2m, но позволим волновым векторам выходить за пределы зоны Бриллюэна. Однако любое состояние, описываемое плоской волной с волновым вектором к, лежащим вне зоны Бриллюэна, можно отождествить с состоянием, волновой вектор которого отличается от к на некоторый вектор обратной решетки, но находится внутри зоны Бриллюэна. Таким образом, чтобы привести наши волновые векторы в зону Бриллюэна, нужно просто транслировать каждый из волновых векторов на такой вектор обратной решетки, чтобы в результате он попал в зону Бриллюэна. Соответственно каждый из сегментов нашей сферической ферми-поверхности также следует перенести внутрь зоны Бриллюэна, сместив его на подходящий вектор обратной решетки. В результате мы как раз получим ту ферми-поверхность, которая возникает при описании зонной структуры. Для двумерного случая аналогичная картина показана на фиг. 36.
Такое построение в случае трех измерений довольно сложно, однако есть простой выход. Дело в том, что любая сферическая поверхность с центром в к = 0 после трансляции на некоторый вектор обратной решетки представляет собой сферическую поверхность с центром в соответствующем узле обратной решетки. Следо-
$ 5. Простые металлы и теория псевдопотенциалов________________129
вательно, трансляция в нашем случае сегментов ферми-поверхно-сти сводится к построению внутри зоны Бриллюэна сферических поверхностей с центрами в некоторых узлах обратной решетки. Значительно проще построить обратную решетку и ферми-сферы около всех узлов, чем отыскивать различные подходящие трансляции.
Закончив такое построение, мы получим внутри зоны Бриллюэна пересечение нескольких сферических поверхностей. Естественно теперь попытаться найти, к каким энергетическим зонам они относятся. Это также довольно нетрудно сделать. Заметим, что
Фиг. 36. Трансляция участков ферми-сферы свободных электронов на целые векторы обратной решетки, которая позволяет целиком привести фермн-поверх-ность в первую зону Бриллюэна.
каждый сферический сегмент представляет собой в соответствующей зоне границу между занятыми и незанятыми состояниями, т. е. состояниями с энергиями выше и ниже энергии Ферми. Следовательно, некоторая точка зоны Бриллюэна, лежащая в созданной нами конструкции внутри трех сфер, должна отвечать заполнению при заданном волновом векторе первых трех зон. Проходя через одну из сферических поверхностей в область, где заполнены только две зоны, мы находим тем самым сегмент поверхности, разделяющий занятые и незанятые состояния в третьей зоне, т. е. мы находим участок ферми-поверхности в третьей зоне. Таким образом, просто пересчитывая сферы, можно узнать, к какой из зон относится каждый сегмент ферми-поверхности. Это иллюстрируется на фиг. 37.
Мы видим, что при нашем способе построения ферми-поверх-ность, соответствующая данной зоне, снова и снова повторяется в обратном пространстве с периодичностью обратной решетки. Разумеется, это непосредственно связано с неопределенностью выбора волнового вектора, описывающего трансляционную перио-
9-0257
Первая
вона
Вторая
зона
Третья
зона
Четвертая
зона
(а)
(Ь)
(6)
Фиг. 37. Простейшее построение одноволновых OPW ферми-поверхностей для двумерной квадратной решетки.
Вверху: ферми-сферы проведены вокруг каждого узла обратной решетки. Ферми-поверхности в первых четырех зонах идентифицируются путем подсчета сфер: они изображены в зоне Бриллюэна (а). Те же поверхности можно построить и в зоне Бриллюэиа (А) с центром в точке W. Для третьей н четвертой энергетических зон такое построение упрощает вид соответствующих электронных орбит. Заштрихованные области отвечают занятым состояниям в энергетических зонах.
§ 5. Простые металлы и теория псевдопотенциалов________________131
дичность волновой функции данного состояния. Мы можем, однако, совершенно однозначно определить ферми-поверхность, или энергетические зоны, рассматривая только единственную зону Бриллюэна с центром в точке к = 0 (квадрат а на фиг. 37). Именно таким описанием мы и пользовались до сих пор.
Можно, конечно, выбрать зону Бриллюэна с центром в каком-нибудь другом узле обратной решетки; при этом энергетические зоны опять будут определены однозначно. Такой выбор оказывается более удобным, если ферми-поверхность в обычной зоне Бриллюэна многократно пересекает ее границы, поскольку состояния на противоположных гранях зоны полностью эквивалентны. Двигаясь по поверхности Ферми, мы должны будем в точках пересечения с гранью зоны Бриллюэна совершить скачок на противоположную грань и затем сможем продолжать движение вдоль соответствующей ферми-поверхности. Таким образом, нам не удалось совершенно избежать разрывности волнового вектора при движении в обратном пространстве. Если же выбрать зону Бриллюэна с центром не в нулевом узле обратной решетки, то иногда удается ликвидировать и такие скачки волнового вектора. Подобная ситуация показана на фиг. 37 для третьей и четвертой зон. В качестве зоны Бриллюэна выбран квадрат Ь.
