Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Многоволновой OPW расчет улучшил согласие между теоретическими и экспериментальными ферми-поверхностями. Кроме того,
а
в
Ф п г. 50. а — сечение изоэиергетическнх поверхностей во второй зоне в алюминии плоскостью (110), проходящей через точку Г; б — сечение изо-энергетических поверхностей в третьей зоне в алюминии плоскостью (110), проходящей через точку К.
В обоих случаях энергии измеряются в ридбергах: для сравнения укажем, что энергия Ферми в одиоволиовом OPW приближении равна 0,86 ридберга. Сечения слева рассчитаны в трехволновом, справа — в одиоволиовом OPW приближении. Масштаб в случае б увеличен по сравнению с масштабом в случае о.
156
Гл. II. Электронные состояния
в ряде случаев оказалось возможным решить обратную задачу и на основании экспериментальных данных о ферми-поверхностях оценить значения OPW формфакторов.
Заметим, что форма поверхности, которую мы получили в двухволновом OPW приближении, не зависит of знака до. Однако если учесть три или более OPW, то отдельные детали ферми-поверхности становятся чувствительными к знаку матричных элементов. Таким образом, анализируя экспериментальные данные, можно установить и знак псевдопотеициала. Однако в любом случае общий вид псевдопотенциала, изображенный на фиг. 33, хорошо известен, поэтому, зная величину двух или трех матричных элементов, обычно легко догадаться и об их знаках.
Когда мы перейдем к расчетам других свойств простых металлов, мы увидим, что, как правило, наиболее удобно начинать эти расчеты с матрицы гамильтониана и включать эффекты зонной структуры тогда, когда рассматривается само свойство. Знание истинной зонной структуры часто не очень нужно для расчета данного свойства. Обычно бывает трудно начать расчет и получить разумные результаты, когда стол завален огромной массой прота-булированной информации. Исключениями, вероятно, являются такие специальные случаи, как расчет самой ферми-поверхности.
§ в. ЗОННАЯ СТРУКТУРА ПОЛУПРОВОДНИКОВ И ПОЛУМЕТАЛЛОВ1)
В п. 6 § 4 мы отмечали, что для полупроводников характерно наличие полностью заполненных зон, называемых валентными зонами, и совершенно пустых зон, называемых зонами проводимости. Такое полное заполнение существует лишь при нулевой температуре, когда система находится в основном состоянии. При конечной же температуре некоторые из состояний зоны проводимости окажутся занятыми и соответственно некоторые из состояний валентной зоны — пустыми. Поэтому при конечной температуре некоторые электроны смогут принять участие в процессе проводимости — отсюда и название полупроводник. Мы увидим, каким образом примеси приводят к появлению электрической проводимости.
В рамках представленного здесь изложения мы можем рассматривать полуметаллы просто как полупроводники, край зоны проводимости которых лежит несколько ниже края валентной зоны. Поэтому некоторые из состояний зоны проводимости окажутся занятыми, а некоторые состояния валентной зоны — пустыми даже
х) Дополнительно с изложением этого вопроса на том же уровне можно ознакомиться в книге [5].
§ 6. Зонная структура полупроводников и полуметаллов 157
при абсолютном нуле температуры. В п. 3 настоящего параграфа мы вернемся специально к обсуждению полуметаллов.
Разница между полупроводниками и изоляторами чисто количественная и определяется величиной энергетической щели 1), отделяющей заполненную зону от незаполненной. В полупроводниках эта щель достаточно мала (порядка электронвольта) и они в обычных условиях становятся сравнительно хорошими проводниками. Таким свойством обладают германий и кремний и различные соединения элементов третьей и пятой групп, такие, как антимонид индия и арсенид галлия. В изоляторах щель достаточно велика (несколько электронвольт) и они не проводят ток. Сюда относятся многие ионные соединения, такие, как хлористый натрий.
Каким образом это количественное отличие приводит к качественной разнице, можно увидеть, если учесть, что вероятность заполнения состояния задается больцмановским множителем A exp (—Е/КТ), где энергия Е порядка величины щели, а КТ при комнатной температуре составляет 0,025 эВ. В полупроводниках больцмановский множитель может быть величиной порядка 10_1°, тогда как в изоляторах он может упасть до 10"30 или 10-40. Поскольку в зоне проводимости имеется только 10м состояний 2), можно ожидать, что в зоне проводимости изолятора электронов не окажется. Когда мы будем рассматривать изоляторы, мы увидим, что кроме отсутствия носителей проводимость затрудняется еще одним обстоятельством, связанным с большой шириной запрещенной зоны. Дело в том, что, если носители и созданы какими-либо иными способами, они обладают малой подвижностью.
К сожалению, не существует сколько-нибудь простого приближенного метода вычисления запрещенной зоны полупроводников. Для получения достаточно полного и обоснованного описания зонной структуры необходимо проводить полный расчет. Если попытаться найти энергетические зоны путем внесения поправок к закону дисперсии свободных электронов, как это мы делали для простых металлов, то выяснится, что матричные элементы псевдопотенциала не просто деформируют ферми-поверхность, а полностью ее уничтожают. Мы не сможем найти электронные состояния полупроводника, используя одну или две OPW. Для этого всегда необходимо рассматривать их несколько, что опять отбрасывает нас, по сути дела, к зонным расчетам.
