Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
(5.83)
(5.84)
F=jf(r)dr,
где
590
Гл. V. Кооперативные явления
Мы хотим, наконец, добавить взаимодействие с магнитным полем, используя векторный потенциал А, определяющий поле с помощью соотношения
Свободная энергия должна зависеть только от магнитного поля; она не должна меняться, если к векторному потенциалу добавить градиент некоторой функции координат (поскольку ротор от него обращается в нуль). Это просто означает, что свободная энергия должна быть градиентно инвариантной. Градиентная инвариантность обычного уравнения Шредингера достигается тем, что к градиенту добавляется величина ieAlbc, где е — абсолютная величина заряда электрона. Гинзбург и Ландау именно так и поступили, хотя теперь ясно, что градиентная инвариантность не нарушится, если даже вместо коэффициента e/hc взять другую величину Это можно сделать, заменив заряд электрона —е на эффективный заряд q*. Теперь установлено, что q* = —2е, где множитель 2 появляется вследствие условия спаривания, следующего из микроскопической теории. Мы, однако, сохраним общую форму с q*. Таким образом, плотность свободной энергии
где последнее слагаемое есть просто плотность энергии магнитного поля.
Минимизируем теперь полную свободную энергию по параметру порядка и векторному потенциалу, т. е. минимизируем F по отношению к вариациям 6ф и бф* (рассматриваемым как независимые переменные) и по отношению к вариации 6А. Можно записать вариацию свободной энергии в явном виде:
Н = Т ХА.
/ = /п + а|Ф(г)|*+4-Ь|ф(г) |4 + с| (т—^-)ф(г)|2 +
+l!rMVxVxA>’
(5.86)
2. Уравнения Гинзбурга — Ландау
x[V + T’]}6^*dT+K0MnjI- C0nP- + cJ[i^r'
+ компл. conp.J 6А rfr H—^ (У X У X A)*6Adr;
ее нужно положить равной нулю. Проведя интегрирование по частям в первом слагаемом, содержащем Тбф*, мы получаем выражение, в котором вариация бф* фигурирует просто как мно-
§ 10. Теория Гинзбурга — Ландау
591
житель и, следовательно, коэффициент прн нем должен равняться нулю. Таким образом,
аф + 5ф*фф — c[v—= (5.87)
Комплексно сопряженное слагаемое в вариации свободной энергии приводит, конечно, к уравнению, комплексно сопряженному этому. Мы опустили возникающий при интегрировании по частям поверхностный интеграл, который, как можно показать, обращается в нуль, если на поверхности обращается в нуль нормальная к ней компонента тока.
Два последних интеграла дают уравнение для А. Поскольку, однако, V х V х А равен 4л\/с где ) — плотность тока, это уравнение можно использовать для определения последней:
j= —|3* (v —Ф + компл. сопр. (5.88)
Теперь можно переписать коэффициент с в иной форме. Плотность тока должна быть пропорциональной плотности сверхпроводящих электронов, тогда как мы приняли для ф такую нормировку, в которой ф*ф есть доля таких электронов. Поэтому нужно ввести множитель л* порядка плотности электронов. Далее, чтобы записать ток в естественных единицах, следует ввести множитель с размерностью обратной массы. Введем для этого величину т*, которая имеет порядок массы электрона. Таким образом константу с можно представить в виде Л2л*/2т*, и уравнения (5.87) и (5.88) примут вид
—?-(T--Ti?r*+-S-*+-S-’W-0' (5.89)
i=2f/n» [^*(Т компл. conp.j. (5.90)
В результате мы пришли к уравнению (5.89), похожему на уравнение Шредингера, и к обычному квантовомеханическому выражению (5.90) для плотности тока частиц с массой т* и зарядом q*. Существенной особенностью уравнения (5.89) является его нелинейность, играющая огромную роль в приложениях теории. Если заменить q* зарядом электронов —е, т* — электронной массой т, ал* — плотностью электронов, то мы придем к уравнениям Гинзбурга — Ландау, полученным ими в 1950 г. Если же q* заменить на —2е, т. е. на заряд куперовской пары, т* — на 2т, т. е. на массу куперовской пары, л* — на половину электронной плотности, то мы получим уравнения Гинзбурга — Ландау в том виде, в котором они используются ныне.
Сейчас мы убедимся в мощи этой феноменологической теории. При данном выборе т*, q* и л* в теорию входят лишь два параметра аир, определяющие, согласно соотношению (5.83), константы
592
Гл. V. Кооперативные явления
а и Ь при любой температуре, близкой к критической. Два этих параметра можно определить по двум экспериментам, а уж с их помощью можно вычислить множество свойств данного сверхпроводника.
Одной из таких экспериментально определяемых величин служит, конечно, разность свободных энергий нормального и сверхпроводящего состояний, которая, согласно выражению (5.82), задает величину аЧЬ, или, что то же самое, о*/р.
Фактически находить эту величину удобнее не прямо, а путем измерения критического поля. Связь между двумя этими величинами следует из выражения (5.86). В отсутствие магнитного поля последнее слагаемое в нем обращается в нуль, и мы получаем разность свободных энергий, выраженную через параметр порядка. Если же к такой системе приложить магнитное поле, то, как хорошо известно, оно не проникает в глубь сверхпроводника. Это — эффект Мейсснера. Таким образом связанная со сверхпроводимостью энергия конденсации практически не изменится, т. е. параметр порядка в массиве сверхпроводника останется прежним. Энергия же магнитного поля, равная последнему слагаемому выражения (5.86), окажется большей вследствие того, что в присутствии сверхпроводника поле деформируется так, что его силовые линии огибают сверхпроводник. Эта дополнительная энергия равна величине Н*18п, умноженной на объем сверхпроводника, в чем можно убедиться, исходя из термодинамических соображений [22]. Если поле увеличивается настолько, что эта дополнительная энергия оказывается больше связанного со сверхпроводящим переходом выигрыша в энергии, то свободная энергия окажется меньше, когда металл перейдет в нормальное состояние и поле окажется однородным. Таким образом, разница в плотности свободных энергий между нормальным и сверхпроводящим состояниями равна НУЫ. Воспользовавшись соотношением (5.82), получим
